Question

【題目】已知：拋物線C1：y=x2－2a x+2a+2 頂點P在另一個函數圖象C2上，

（1）求證：拋物線C1必過定點A（1，3）；并用含的a式子表示頂點P的坐標；

（2）當拋物線C1的頂點P達到最高位置時，求拋物線C1解析式；并判斷是否存在實數m、n，當m≤x≤n時恰有3m≤y≤3n，若存在，求出求m、n的值；若不存在，說明理由；

（3）拋物線C1和圖象C2分別與y軸交于B、C點，當△ABC為等腰三角形，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）頂點P(a，－a 2+2a+2) （2）m=1， n=4 （3）,或，或a =1，a =0（B與C重合，舍去）

【解析】試題分析：（1）根據待定系數法，直接把A點的坐標x=1代入即可證明拋物線C1必過定點A，然后根據配方法求出頂點P的坐標；

（2）先根據配方法求出yP=－(a-1) 2+3≤3，得到P的最高點的坐標，求得C1解析式，然后根據二次函數的最值以及二次函數的增減性可求出m、n的值；

（3）分別求出兩函數和y軸的交點，然后結合等腰三角形和勾股定理分類討論即可求出a的值.

試題解析：（1）∵當時，

∴ 拋物線C1必過定點A（1，3）

∵拋物線C1：y=x2－2a x+2a+2=（x－a）2－a 2+2a+2

∴頂點P(a，－a 2+2a+2)

（2）∵yP=－a 2+2a+2=－(a-1) 2+3≤3

∴當時，P達到最高位置（1，3）

此時拋物線C1解析式為y=x2－2 x+4

∴ y=x2－2 x+4=（x－1）2+3 ≥3

∵當m≤x≤n時恰有3m≤y≤3n

∴3≤3m≤y≤3n

∴1≤m≤n

∴當1≤m≤x≤n ，y隨x的增大面增大

∴當x= m 時， y= 3m，當x= n 時，y= 3 n

∴解得

∵ 1≤m≤n

∴m=1， n=4

（3）∵拋物線C1：y=x2－2a x+2a+2與y軸交于B點

∴B（0，2a+2）

∵函數yP=－x 2+2x+2圖象C2與y軸交于C點

∴C（0，2）

∵A（1，3）

∴由勾股定理得AC=，BC = ，AB2=( a -1) 2+1

∵△ABC為等腰三角形

∴①AC=BC ②BC 2= AB2 ③AC 2= AB2

∴= 或 4 a 2 =(2 a -1) 2+1 或2= (2 a -1) 2+1

∴,或，或a =1，a =0（B與C重合，舍去）