Question

（2012•無錫一模）（1）閱讀理解
先觀察和計算，并用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”、“=”填空：4+9

＞

2

4×9

，
4+4

=

2

4×4

，2+3

＞

2

2×3

．請猜想：當a＞0，b＞0，則a+b

≥

2

ab

．
如∵(

6

-

5

)2＞0，展開(

6

)2+(

5

)2-2

6×5

＞0，∴6+5＞2

6×5

．
請你給出猜想的一個相仿的說明過程．
（2）知識應用
①如圖⊙O中，⊙O的半徑為5，點P為⊙O內一個定點，OP=2，過點P作兩條互相垂直的弦，即AC⊥BD，作ON⊥BD，OM⊥AC，垂足為P、N，求OM²+ON²的值．
②在上述基礎上，連接AB、BC、CD、DA，利用①中的結論，探求四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）求出式子的結果，再比較即可；根據完全平方公式大于等于0，展開即可得出答案；
（2）①根據矩形的判定得出矩形MPNO，根據矩形性質得出MN=OP=2，根據勾股定理求出即可；②根據垂徑定理求出AC=2CM，BD=2BN，根據勾股定理求出BN²+CM²的值，最后根據以上結論即可求出S≤46，求出答案即可．

解答：（1）解：4+9＞2

4

，4+4=2

4+4

，2+3＞2

2×3

，
猜想a+b≥2

ab

，
理由是：∵（

a

-

b

）²≥0，
∴化簡得a+b≥2

ab

，
故答案為：＞，=，＞，≥．

（2）①解：連接OP，MN，
∵OM⊥BD，ON⊥AC，AC⊥BD，
∴∠PNO=∠NPM=∠PMO=90°，
∴四邊形MPNO是矩形，
∴OP=MN，
∴OM²+ON²=MN²=OP²=4．

②解：連接OC，
∵由勾股定理得：MC²=OC²-OM²=25-OM²，同理BN²=25-ON²，
∴BN²+CM²=50-（OM²+ON²）=50-4=46，
∵S=

1

2

AC×BD=

1

2

×2BN×2CM=2BN×CM≤BN²+CM²，
∴S≤46，
即四邊形ABCD的面積的最大值是46．

點評：本題考查了矩形性質和判定、勾股定理、根式的計算、完全平方公式等知識點，主要考查學生的理解能力和推理能力，題目綜合性比較強，難度偏大．