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(2002•龍巖)已知,如圖,D是線段AB上的點,以BD為直徑作⊙O,AP切⊙O于E,BC⊥AF于C,連接DE、BE.
(1)求證:BE平分∠ABC;
(2)若D是AB中點,⊙O直徑BD=,求DE的長.

【答案】分析:(1)可利用CE是圓的切線來求證,連接OE,因此OE∥BC(都和AF垂直),可根據(jù)內(nèi)錯角相等和等邊對等角,將相等角進(jìn)行替換即可得出∠EBD=∠EBC.
(2)可通過構(gòu)建直角三角形來求解.過E作EH⊥AB于H,那么不難得出EDH和BDE相似,可得出DE2=DH•DB,那么求出DH就是關(guān)鍵,也就是求出BH的長.根據(jù)(1)的角平分線,我們不難得出BH=BC,那么就必須求出BC,有AB的長,只要知道∠A的正弦值就可以求出BC了,在直角三角形AOE中,AO=3OE,由此可得出∠A的正弦值,也就求出BC、BH、DH的長了,然后可根據(jù)上面上面所述的步驟求出DE的長.
解答:(1)證明:連接OE,
∵AF與⊙O切于點E,
∴OE⊥AC.
又BC⊥AF于C,
∴OE∥BC.
∴∠OEB=∠EBC,
∵OB=OE,
∴∠OEB=∠OBE,
∴∠OBE=∠EBC,
∴BE平分∠ABC.

(2)解:過E作EH⊥AB于H,連接OE,
在直角三角形OEA中,sinA=OE:AO=OE:3OE=1:3,
直角三角形ABC中,AB=2BD=6
BC=AB•sinA=6×=2
∵∠EHB=∠ECB=90°,BE=BE,∠EBA=∠EBC,
∴△EBH≌△ECB.
∴BH=BC=2
∴DH=
∵∠DEB=∠EHD=90°,∠EDO=∠BDE,
∴△EDH∽△BDE.
∴DE2=DH•DB=×3=9.
∴DE=3.
點評:本題考查了切線的性質(zhì),解直角三角形等知識點,通過切線的性質(zhì)得出角相等或垂直是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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