Question

在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是拋物線y＝x²在第二象限上的點(diǎn)，連接OA，過點(diǎn)O作OB⊥OA，交拋物線于點(diǎn)B，以O(shè)A、OB為邊構(gòu)造矩形AOBC．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為       時(shí)，矩形AOBC是正方形；
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為時(shí)，
①求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
②將拋物線y＝x²作關(guān)于x軸的軸對(duì)稱變換得到拋物線y＝﹣x²，試判斷拋物線y＝﹣x²經(jīng)過平移交換后，能否經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)？如果可以，說出變換的過程；如果不可以，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：(1)如圖，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D， ∵矩形AOBC是正方形， ∴∠AOC＝45°， ∴∠AOD＝90°﹣45°＝45°， ∴△AOD是等腰直角三角形， 設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣a，a)(a≠0)，則(﹣a)2＝a， 解得a1＝﹣1，a2＝0(舍去)， ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)﹣a＝﹣1， 故答案為：﹣1； (2)①過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F， 當(dāng)x＝﹣時(shí)，y＝(﹣)2＝， 即OE＝，AE＝， ∵∠AOE+∠BOF＝180°﹣90°＝90°，∠AOE+∠EAO＝90°， ∴∠EAO＝∠BOF， 又∵∠AEO＝∠BFO＝90°， ∴△AEO∽△OFB， ∴＝＝＝， 設(shè)OF＝t，則BF＝2t， ∴t2＝2t，解得：t1＝0(舍去)，t2＝2， ∴點(diǎn)B(2，4)； ②過點(diǎn)C作CG⊥BF于點(diǎn)G， ∵∠AOE+∠EAO＝90°，∠FBO+∠CBG＝90°，∠AEO＝∠FBO，∴∠EAO＝∠CBG， 在△AEO和△BGC中，， ∴△AEO≌△BGC(AAS)， ∴CG＝OE＝，BG＝AE＝． ∴xc＝2﹣＝，yc＝4+＝， ∴點(diǎn)C(，)， 設(shè)過A(﹣，)、B(2，4)兩點(diǎn)的拋物線解析式為y＝﹣x2+bx+c， 由題意得，， 解得， ∴經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的拋物線解析式為y＝﹣x2+3x+2， 當(dāng)x＝時(shí)，y＝﹣()2+3×+2＝， 所以點(diǎn)C也在此拋物線上， 故經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式為 y＝﹣x2+3x+2＝﹣(x﹣)2+； 平移方案：先將拋物線y＝﹣x2向右平移個(gè)單位， 再向上平移個(gè)單位得到拋物線y＝﹣(x﹣)2+．