Question

如圖，四邊形ABCD為正方形，△BEF為等腰直角三角形（∠BFE=90°，點B、E、F按逆時針排列），點P為DE的中點，連PC，PF
（1）如圖①，點E在BC上，則線段PC、PF的數量關系為______，位置關系為______（不證明）．
（2）如圖②，將△BEF繞點B順時針旋轉a（O＜a＜45°），則線段PC，PF有何數量關系和位置關系？請寫出你的結論，并證明．
（3）如圖③，△AEF為等腰直角三角形，且∠AEF=90°，△AEF繞點A逆時針旋轉過程中，能使點F落在BC上，且AB平分EF，直接寫出AE的值是______

Answer 1

【答案】分析：（1）由∠BFE=90°，點P為DE的中點，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到PF=PD=PE，PC=PD=PE，則PC=PF，又∠FPE=2∠FDP，∠CPE=2∠PDC，得到∠FPC=2∠FDC=90°，所以PC=PF，PC⊥PF．
（2）延長FP至G使PG=PF，連DG，GC，FC，延長EF交BD于N，易得△PDG≌△PEF，得DG=EF=BF，得∠PEF=∠PDG，EN∥DG，可得
∠FBC=∠GDC，證得△BFC≌△DGC，則FC=CG，∠BCF=∠DCG．得∠FCG=∠BCD=90°．即有PC⊥PF，PF=PC．
（3）設AE=2x，則PE=PF=x，AP=x，PB=AB-x，由Rt△AEP∽Rt△FBP，得到=，解得x=．得到AE=2x=AB．
解答：
解：（1）∵∠BFE=90°，點P為DE的中點
∴PF=PD=PE，
同理可得PC=PD=PE，
∴PC=PF，
又∵∠FPE=2∠FDP，∠CPE=2∠PDC，
∴∠FPC=2∠FDC=90°，
所以PC=PF，PC⊥PF．

（2）PC⊥PF，PF=PC．理由如下：
延長FP至G使PG=PF，連DG，GC，FC，延長EF交BD于N，如圖，
∵點P為DE的中點，
∴△PDG≌△PEF，
∴DG=EF=BF．
∴∠PEF=∠PDG，
∴EN∥DG，
∴∠BNE=∠BDG=45°+∠CDG=90°-∠NBF=90°-（45°-∠FBC）
∴∠FBC=∠GDC，
∴△BFC≌△DGC，
∴FC=CG，∠BCF=∠DCG．
∴∠FCG=∠BCD=90°．
∴△FCG為等腰直角三角形，
∵PF=PG，
∴PC⊥PF，PF=PC．

（3）設AE=2x，則PE=PF=x，AP=x，PB=AB-x，
∵Rt△AEP∽Rt△FBP，
∴=，
∴x=AB．
∴AE=2x=AB．
故答案為PC=PF，PC⊥PF；AB．
點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等．也考查了正方形的性質和三角形全等的判定與性質以及三角形相似的性質．