Question

如圖，已知直線l₁∥l₂∥l₃∥l₄∥l₅，相鄰兩條平行直線間的距離相等且為1，如果四邊形ABCD的四個頂點在平行直線上，∠BAD=90°且AB=2AD，DC⊥l₄，則四邊形ABCD的面積是

9

．

Answer 1

分析：首先延長DC交l₅于點F，延長CD交l₁于點E，作點B作BH⊥l₁于點H，連接BD，易證得△BAH∽△ADE，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得AH，AE的長，由勾股定理求得AD與AB的長，然后由S_{四邊形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD，即可求得答案．

解答：解：延長DC交l₅于點F，延長CD交l₁于點E，作點B作BH⊥l₁于點H，連接BD，
∵DC⊥l₄，l₁∥l₂∥l₃∥l₄∥l₅，
∴DC⊥l₁，DC⊥l₅，
∴∠BHA=∠DEA=90°，
∴∠ABH+∠BAH=90°，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAH+∠DAE=90°，
∴∠ABH=∠DAE，
∴△BAH∽△ADE，
∴

AB

AD

=

BH

AE

=

AH

DE

，
∵AB=2AD，BH=4，DE=1，
∴AE=2，AH=2，
∴BF=HE=AH+AE=2+2=4，
在Rt△ADE中，AD=

AE2+DE2

=

5

，
∴AB=2AD=2

5

，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD=

1

2

AB•AD+

1

2

CD•BF=

1

2

×2

5

×

5

+

1

2

×2×4=9．
故答案為：9．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、勾股定理以及四邊形的面積問題．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．