Question

如圖，平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A，B的坐標分別為（4，0），（4，3），動點M，N分別從O，B同時出發，以每秒1個單位的速度運動，其中，點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動．過點M作MP⊥OA，交AC于P，連接NP，已知動點運動了x秒。

（1）P點的坐標為（______，_______）（用含x的代數式表示）；
（2）試求△NPC面積S的表達式，并求出面積S的最大值及相應的x值；
（3）當x為何值時，△NPC是一個等腰三角形？簡要說明理由。

Answer 1

解：（1）由題意可知，， ∴P點坐標為。 （2）設△NPC的面積為S，在△NPC中，NC=4-x NC邊上的高為，其中 ∴ ∴S的最大值為，此時。
（3）延長MP交CB于Q，則有PQ⊥BC ①若NP=CP， ∵PQ⊥BC， ∴NQ=CQ=x ∴3x=4 ∴。 ②若，則 ∴。 ③若，則 ∵ ∵在中， ∴ ∴ 綜上所述，或。