Question

10、如圖，⊙O₁與⊙O₂內切于點P，又⊙O₁切⊙O₂的直徑BE于點C，連接PC并延長交⊙O₂于點A，設⊙O₁，⊙O₂的半徑分別為r、R，且R≥2r．求證：PC•AC是定值．

Answer 1

分析：要證PC•AC是定值，如圖示連接CQ、AO₂，若△PQC與△ACO₂相似，則可得PC•AC=AO₂•PQ=2Rr為定值，要證△PQC與△ACO₂相似，由AO₂=PO₂得∠A=∠P，再由∠PQC=∠ACO₂=∠PCE可得．所以可得結論．

解答：證明：如圖連接CQ，AO₂，
∵∠PCE與∠ACO₂是對頂角，
∴∠PCE=∠ACO_2，
∵⊙O₁切⊙O₂的直徑BE于點C，
∴在⊙O₁中∠PCE=∠PQC，
∴∠PQC=∠ACO₂．
又∵AO₂=PO₂，
∴∠A=∠P，
∴△PQC∽△ACO₂，
∴PC：AO₂=PQ：AC，
∴PC•AC=AO₂•PQ=2Rr，
為定值．

點評：本題考查了相切圓的性質，相交弦定理，同學們應熟練掌握．