Question

24、如圖，直線y=x+3與坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點(diǎn)，拋物線y=ax²+bx-3a經(jīng)過點(diǎn)A，B，頂點(diǎn)為C，連接CB并延長交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對稱軸MN對稱．
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求證：四邊形ABCD是直角梯形．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)直線y=x+3求得點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后代入二次函數(shù)的解析式求得其解析式，然后求得其頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）根據(jù)B、D關(guān)于MN對稱，C（-1，4），B（0，3）求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后得到AD與BC不平行，∴四邊形ABCD是梯形，再根據(jù)∠ABC=90°得到四邊形ABCD是直角梯形．

解答：解：（1）由y=x+3與坐標(biāo)軸分別交與A、B兩點(diǎn)，易得A點(diǎn)坐標(biāo)（-3，0）、
B點(diǎn)坐標(biāo)（0，3）
∵拋物線y=ax²+bx-3a經(jīng)過A、B兩點(diǎn)
∴9a-3b-3a=0a=-1-3a=3得：b=-2
∴拋物線解析式為：y=-x²-2x+3
∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，4）

（2）∵B、D關(guān)于MN對稱，C（-1，4），B（0，3）
∴D（-2，3）
∵B（3，0），A（-3，0）
∴OA=OB
又∠AOB=90°
∴∠ABO=∠BAO=45°
∵B、D關(guān)于MN對稱
∴BD⊥MN
又∵M(jìn)N⊥X軸
∴BD∥X軸
∴∠DBA=∠BAO=45°
∴∠DBO=∠DBA+∠ABO=45°+45°=90°
∴∠ABC=180°-∠DBO=90°
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=45°
∵CM⊥BD
∴∠MCB=45°
∵B，D關(guān)于MN對稱
∴∠CDM=∠CBD=45°，CD∥AB
又∵AD與BC不平行
∴四邊形ABCD是梯形
∵∠ABC=90°
∴四邊形ABCD是直角梯形．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，特別題目中涉及到的對稱點(diǎn)的問題，更是近幾年中考中的常見知識點(diǎn)．