Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx與x軸分別交于原點O和點F（10，0），與對稱軸l交于點E（5，5）．矩形ABCD的邊AB在x軸正半軸上，且AB=1，邊AD，BC與拋物線分別交于點M，N．當矩形ABCD沿x軸正方向平移，點M，N位于對稱軸l的同側時，連接MN，此時，四邊形ABNM的面積記為S；點M，N位于對稱軸l的兩側時，連接EM，EN，此時五邊形ABNEM的面積記為S．將點A與點O重合的位置作為矩形ABCD平移的起點，設矩形ABCD平移的長度為t（0≤t≤5）．

（1）求出這條拋物線的表達式；

（2）當t=0時，求S△OBN的值；

（3）當矩形ABCD沿著x軸的正方向平移時，求S關于t（0＜t≤5）的函數表達式，并求出t為何值時，S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）拋物線的表達式為y=﹣x2+2x；（2）；

（3）S=﹣（t﹣）2+（0＜t≤4）；S＝﹣（t﹣）2+（4＜t≤5），當t=時，S有最大值，最大值是.

【解析】

（1）將E（5，5）、F（10，0）代入y=ax2+bx，求解即可得到答案；

（2）當t=0時，點B的坐標為（1，0），點N的坐標為（1，），然后根據三角形的面積公式計算即可；

（3）①當0＜t≤4時（圖1），S為梯形ABNM的面積，用t表示出各點的坐標，然后根據梯形面積公式得到關于t的二次函數，再利用二次函數的性質求得S的最大值；

②當4＜t≤5時（圖2），S為五邊形ABNEM的面積，即兩個梯形相加，同①求得S的最大值，與①所得S進行比較，較大的即為所求.

（1）將E（5，5）、F（10，0）代入y=ax2+bx，

，

解得：，

∴拋物線的表達式為y=﹣x2+2x；

（2）當t=0時，點B的坐標為（1，0），點N的坐標為（1，），

∴BN=，OB=1，

∴S△OBN=BNOB=；

（3）①當0＜t≤4時（圖1），

點A的坐標為（t，0），點B的坐標為（t+1，0），

∴點M的坐標為（t，﹣t2+2），點N的坐標為（t+1，﹣（t+1）2+2（t+1）），

∴AM=﹣t2+2t，BN=﹣（t+1）2+2（t+1），

∴S=（AM+BN）AB=×1×[﹣t2+2t﹣（t+1）2+2（t+1）]，

=﹣t2+t+，

=﹣（t﹣）2+，

∵﹣＜0，

∴當t=4時，S取最大值，最大值為；

②當4＜t≤5時（圖2），

點A的坐標為（t，0），點B的坐標為（t+1，0），

∴點M的坐標為（t，﹣t2+2t），點N的坐標為（t+1，﹣（t+1）2+2（t+1）），

∴AM=﹣t2+2t，BN=﹣（t+1）2+2（t+1），

∴S=（5﹣t）（﹣t2+2t+5）+（t﹣4）[5﹣（t+1）2+2（t+1）]，

=（t3﹣3t2+5t+25）+（﹣t3+t2+t﹣），

=﹣t2+t﹣，

=﹣（t﹣）2+，

∵﹣＜0，

∴當t=時，S取最大值，最大值為；

∵=＜，

∴當t=時，S有最大值，最大值是．