Question

【題目】已知圖形和圖形上的兩點(diǎn)、，如果上的所有點(diǎn)都在圖形的內(nèi)部或邊上，則稱(chēng)為圖形的內(nèi)弧．特別的，在中，，分別是兩邊的中點(diǎn)，如果上的所有點(diǎn)都在的內(nèi)部或邊上，則稱(chēng)為的中內(nèi)弧．（注：是指劣弧或半圓）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)．設(shè)內(nèi)弧所在圓的圓心為．

（1）當(dāng)時(shí)，連接、并延長(zhǎng)．

①請(qǐng)?jiān)趫D1中畫(huà)出一條的內(nèi)弧；

②請(qǐng)直接寫(xiě)出的內(nèi)弧長(zhǎng)度的最大值__________．

（2）連接、并延長(zhǎng)．

①當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的所有內(nèi)弧所在圓的圓心的縱坐標(biāo)的取值范圍__________；

②若直線(xiàn)上存在的內(nèi)弧所在圓的圓心，請(qǐng)求出的取值范圍．

（3）作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接、、．令，當(dāng)的中內(nèi)弧所在的圓的圓心在的外部時(shí)，的所有中內(nèi)弧都存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出的取值范圍__________．

Answer 1

【答案】（1）①見(jiàn)解析，②；（2）①或，②且；（3）

【解析】

（1）①過(guò)點(diǎn)A、B作弧線(xiàn)即可；

②以線(xiàn)段AB為直徑的半圓即是的內(nèi)弧長(zhǎng)度的最大值，利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可；

（2）①根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出AB=，及∠OAB=30°，再分兩種情況：當(dāng)在線(xiàn)段AB上方時(shí)，當(dāng)在線(xiàn)段AB下方時(shí)，分別求出最長(zhǎng)值即可得到答案；

②取直線(xiàn)x=6上一點(diǎn)P，連接BP，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB于C，直線(xiàn)x=6交x軸于點(diǎn)D，當(dāng)在線(xiàn)段AB下方時(shí)且最大，過(guò)A、B兩點(diǎn)的圓P與y軸相切，則BP⊥y軸，PC垂直平分AB，此時(shí)四邊形OBPD是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)及三角形相似求出n的值，即可得到答案；

（3）作AO的垂直平分線(xiàn)，交x軸于點(diǎn)D，交CD于點(diǎn)P，交AB于點(diǎn)E，根據(jù)在線(xiàn)段AO的下方時(shí)，在AO的上方時(shí)，分別求出的最大值，即可得到n的取值范圍.

解：（1）①如圖：

②以線(xiàn)段AB為直徑的半圓即是的內(nèi)弧長(zhǎng)度的最大值，

∵A(4，0)，B(0，4)，

∴OA=OB=4，

∴AB=，

∴的內(nèi)弧長(zhǎng)度的最大值==，

故答案為：；

（2）①∵A(4，0)，B(0，)，

∴OA=4，OB=,

∴AB=，

如圖，當(dāng)在線(xiàn)段AB上方時(shí)，此時(shí)以AB為直徑的半圓的弧線(xiàn)最長(zhǎng)，過(guò)圓心P作PH⊥x軸于H，則PH=，

∴，

如圖，當(dāng)在線(xiàn)段AB下方時(shí)，過(guò)A、B兩點(diǎn)的圓P與x軸相切，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線(xiàn)，與線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)P，交AB于點(diǎn)H，此時(shí)最長(zhǎng)，連接BP，

∵OA=4，OB=,

∴tan∠OAB= ，

∴∠OAB=30°，

∴∠BAP=60°，

∵PH垂直平分AB，

∴AP=BP，

∴△ABP是等邊三角形，

∴AP=AB=，

∴，

綜上，或；

②如圖，取直線(xiàn)x=6上一點(diǎn)P，連接BP，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB于C，直線(xiàn)x=6交x軸于點(diǎn)D，

當(dāng)在線(xiàn)段AB下方時(shí)且最大，過(guò)A、B兩點(diǎn)的圓P與y軸相切，則BP⊥y軸，PC垂直平分AB，此時(shí)四邊形OBPD是矩形，

∴BP=OD=6，

∵A(4，0)，B(0，n),

∴OA=4，OB=n，

∴AB=，

∴BC=

易證△AOB∽△BCP，

∴,

∴

解得n=（n=-舍去），

同理，當(dāng)在線(xiàn)段AB上方時(shí)且最大，n=-，

綜上，n的取值范圍是且；

（3）作AO的垂直平分線(xiàn)，交x軸于點(diǎn)D，交CD于點(diǎn)P，交AB于點(diǎn)E，

當(dāng)在線(xiàn)段AO的下方時(shí)，當(dāng)AO是直徑時(shí)，最大，此時(shí)DP=OD=AD=2<OC，即圓心P在△BCD內(nèi)部，

當(dāng)在AO的上方時(shí)，當(dāng)圓P與BD相切時(shí)，即AP⊥BD時(shí)，最大，

∵PE⊥AO

∴，

∴，

解得，

∴當(dāng)的中內(nèi)弧所在的圓的圓心在的外部時(shí)，的所有中內(nèi)弧都存在，n的取值范圍是.