Question

求出滿足方程x²+y²=2（x+y）+xy的所有正整數解．

Answer 1

分析：首先將原方程可以變形為x²-（y+2）x+y²-2y=0，由于這個關于x的整系數一元二次方程有整數根，可得它的判別式是完全平方數，又由0≤16-3（y-2）²≤16，即可得16-3（y-2）²的值可能是0，1，4，9，16，然后代入求解即可求得答案．

解答：解：方法一：
原方程可以變形為x²-（y+2）x+y²-2y=0，（5分）
∵這個關于x的整系數一元二次方程有整數根，
∴它的判別式是完全平方數，
即△=（y+2）²-4（y²-2y）=-3y²+12y+4=16-3（y-2）²是完全平方數，（10分）
∵0≤16-3（y-2）²≤16，
∴16-3（y-2）²=0，1，4，9，16，
解得y=2，4，
于是可得

x=2 y=4

，

x=4 y=2

，

x=4 y=4

．（14分）

方法二：x²-（y+2）x+y²-2y=0，（5分）
∵△=（y+2）²-4（y²-2y）=-3y²+12y+4=16-3（y-2）²≥0
∴（y-2）²≤

16

3

＜9，
∴-3＜y-2＜3，
∴-1＜y＜5，
故y=1，2，3，4，（10分）
分別代入原方程可得

x=2 y=4

，

x=4 y=2

，

x=4 y=4

．（14分）

點評：此題考查了一元二次方程的有理根問題．解題的關鍵是將原方程變形，利用判別式△求解．