Question

【題目】如圖，在ΔABC中，∠BAC=120°，AB=AC=6cm，點M從點A出發沿AB方向以每秒一個單位長的速度向點B勻速運動，與此同時點N也從點A出發沿AC方向以相同的速度向點C勻速運動，過點N作DN∥AB，交BC于點D，連接MD，設運動的時間是t秒().

(1)填空：____________；

(2)是否存在某一時刻，使得四邊形MBDN的面積與三角形ABC的面積比為4：9，若存在求值，若不存在請說明理由；

(3)當為何值時，ΔMND為等腰三角形?請直接寫出符合條件的值.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 2s或4s;(3)見解析.

【解析】

（1）由∠BAC=120°，AB=AC=6cm，可以得到ΔBAC為等腰三角形，并且，高是，通過計算即可.

（2）作AE⊥MN于E，MF⊥BC于點F，則可以通過求證四邊形MBDN是平行四邊形，得出AE，MN，MF的長，并根據四邊形MBDN的面積與三角形ABC的面積的比為4：9，

則，化簡即可得.

（3）當ΔMND為等腰三角形時，分三種情況討論：①當MD=MN時，②當ND=MN時，③當MD=ND時，利用（1）和（2）中的已知和已證條件求解.

解：(1) ∵∠BAC=120°，AB=AC=6cm，

∴ΔBAC為等腰三角形，

∴∠B=30°

∴

.

(2)依題意，得

AM=AN=t

∴∠AMN=∠ANM=30°

∵AB=AC

∴∠B=∠C=30°

∴∠AMN∠B

∴NN∥BC

∵ND∥BM

∴四邊形MBDN是平行四邊形(另法：證明DN∥BM，DN=BM也可)

作AE⊥MN于E

∴ME=NE=MN

∵∠AME=30°

∴AE=AM=t，ME=AE=

∴MN=2ME=

作MF⊥BC于點F，∠B=30°

∴MF=BM=

若四邊形MBDN的面積與三角形ABC的面積的比為4：9，

則

即：

∴，

故當t=2s或4s時，四邊形MBON的面積與三角形ABC的面積的比為4：9.

(3)

由（1）可知：ΔBAC為等腰三角形，∠B=30°，

∵DN∥AB

∴ΔDNC為等腰三角形，

∴CN=DN=6-t，

由（2）可知：MN=，NN∥BC

∴∠MND=∠NDC=30°

①如圖示，當MD=MN時，ΔMND為等腰三角形，

∴

即：

∴

②如圖示，當ND=MN時，ΔMND為等腰三角形，

即：

∴

③如圖示，當MD=ND時，ΔMND為等腰三角形，

∴

即：

∴.