Question

若關于x的方程k（x²-4）+ax-1=0對一切實數k都有實數根，求a的取值范圍．

Answer 1

解：∵關于x的方程k（x²-4）+ax-1=0，
∴kx²+ax-4k-1=0，
①當k=0時，方程為ax-4k-1=0，
∵方程對一切實數k都有實數根，
∴a≠0；
②當k≠0時，方程為一元二次方程，
∵方程對一切實數k都有實數根，
∴方程的判別式是非負數，
即△=a²+4k（4k+1）=a²+16k²+4k，
由一元二次方程有根的條件可得：a²+4k（4k+1）≥0時方程有實數解，
（1）當k＞0時，上式必定成立，此時a可取任意值；
（2）當k＜0時，上式a²+4k（4k+1）≥0中，a²≥0，4k＜0，考慮4k+1的正負性：
A：若4k+1＞0，即：-＜k＜0，
∴0＜4k（4k+1）＜1，
此時a可取任意值；
B：若4k+1＜0，
即：k＜-，
∴4k（4k+1）＞0，
此時a可取任意值；
C：若4k+1=0，
即：k=-，
∴4k（4k+1）=1，
此時a可取任意值；
綜上所述：只要a的值不為0即可．
分析：首先把方程整理為kx²+ax-4k-1=0，然后討論：
①當k=0時，方程為ax-4k-1=0，由于方程對一切實數k都有實數根，所以根據一元一次方程的定義即可求出a的取值范圍；
②當k≠0時，方程為一元二次方程，由于方程對一切實數k都有實數根，所以得到方程的判別式是非負數，由此即可求出a的取值范圍．
點評：此題主要考查了一元二次方程的判別式和方程的根的關系，也利用了分類討論的思想，題目對于學生分析問題、解決問題的能力要求比較高，平時應該加強這方面的訓練．