Question

如圖，四邊形ABCD的對角線CA平分∠BCD且AD=AB，AE⊥CB于E，點O為四邊形ABCD的外接圓的圓心，下列結論：（1）OA⊥DB；（2）CD+CB=2CE；（3）∠CBA-∠DAC=∠ACB；（4）若∠DAB=90°，則CD+CB=CA．其中正確的結論是（ ）

A．（1）（3）（4）
B．（1）（2）（4）
C．（2）（3）（4）
D．（1）（2）（3）

Answer 1

【答案】分析：（1）易知：OA=OB=OD（都是⊙O的半徑），因此點O是△ABD的外心，因此O點在BD的垂直平分線上，由于△ABD是等腰三角形，因此OA⊥BD，可證得（1）正確；
（2）本題可通過構建等腰三角形求解；延長CB至F，使BF=CD，連接AF；證△ABF≌△ADC；可的BF=CD，CF=2CE，即可證得（2）的結論也正確；
（3）由（2）可得：∠BAF=∠DAC，因此∠CBA-∠BAF=∠F=∠ACB，可證得（3）的結論正確；
（4）若∠DAB=90°，那么△DAB和△ACF都是等腰直角三角形，那么CF=AC，即CB+CD=AC，顯然（4）的結論是錯誤的．
解答：解：（1）中，根據點O為四邊形ABCD的外接圓的圓心，則OA=OB=OD，
即點O也是三角形ABD的外心，
因此O是該三角形三邊垂直平分線的交點，
又AB=AD，則OA⊥BD；故（1）正確；
（2）中，延長CB至F，使BF=CD，連接AF，
根據圓內接四邊形的對角互補，則∠ADC+∠ABC=180°，
又∠ABC+∠ABF=180°，∴∠ABF=∠ADC，
又AB=AD，BF=CD；∴△ABF≌△ADC，
∴AF=AC，又AE⊥CF，∴CE=EF，
即CD+CB=2CE，故（2）正確；
（3）中，根據（2）中的方法，得∠DAC=∠BAF，
∴∠CBA-∠DAC=∠CBA-∠BAF=∠AFC=∠ACB；因此（3）正確；
（4）中，若∠DAB=90°，則∠DCB=90°，則∠ACE=45°，
得到△ACE是等腰直角三角形，根據（2）中的做法，則CD+CB=2CE=CA，故（4）錯誤．
因此正確的結論有：（1）（2）（3），故選D．
點評：此題綜合考查了圓內接四邊形的性質，能夠構造全等三角形，掌握全等三角形的判定和性質．