Question

【題目】點G為△ABC的重心（△ABC三條中線的交點），以點G為圓心作⊙G與邊AB，AC相切，與邊BC相交于點H，K，若AB＝4，BC＝6，則HK的長為（　　）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據切線的性質得到EG⊥AB，FG⊥AC，連接AG并延長交BC于S，根據重心的性質得到BS＝CS＝BC＝3，延長AS到O時SO＝AS，根據全等三角形的性質得到∠O＝∠CAS，AC＝OB，由勾股定理得到AS＝，根據相似三角形的性質即可得到結論．

設⊙G與邊AB，AC相切于E，F，連接EG，FG，

則EG⊥AB，FG⊥AC，

連接AG并延長交BC于S，

∵EG＝FG，

∴∠BAS＝∠CAS，

∵點G為△ABC的重心，

∴BS＝CS＝BC＝3，

延長AS到O時SO＝AS，

在△ACS與△OBS中，

∴△ACS≌△OBS（SAS），

∴∠O＝∠CAS，AC＝OB，

∵∠BAS＝∠CAS，

∴∠BAS＝∠O，

∴AB＝BO，

∴AB＝AC，

∴AS⊥BC，

∴AS＝，

∴AG＝AS＝，SG＝AS＝，

∵∠EAG＝∠SAB，∠AEG＝∠ASB＝90°，

∴△AEG∽△ASB，

∴，

∴，

∴EG＝，

連接GH，

∴GH＝，

∴HS＝，

∴HK＝2HS＝．

故選：A．