Question

如圖，將邊長為4的等邊三角形沿MN折疊，點A恰好落在BC邊上的點D處，已知AM：AN=2：3，求CD的長．

Answer 1

解：∵AM：AN=2：3，
∴設AM=2k，AN=3k，
∵△ABC邊長為4，
∴MB=4-2k，NC=4-3k，
∵△AMN≌△DMN，
∴DM=AM=2k，DN=AN=3k，
∵∠MDN=∠A=60°，
∴∠MDB+∠NDC=120°，
∵∠C=60°，
∴∠NDC+∠DNC=120°，
∴∠DNC=∠MDB，
∴△BMD∽△CDN，
∴BM：CD=BD：CN=MD：DN=2：3，
∴BD=NC=-2k，
CD=MB=6-3k，
于是-2k+6-3k=4，
解得：k=，
∴CD=．
分析：首先根據AM：AN=2：3，可設AM=2k，AN=3k，進而得到MB=4-2k，NC=4-3k，再由△AMN≌△DMN，可得DM=AM=2k，DN=AN=3k，然后證明△BMD∽△CDN，再根據相似三角形的性質可得BM：CD=BD：CN=MD：DN=2：3，然后用含k的代數式表示出BD、CD，再根據BC=4計算出k的值即可．
點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質，關鍵是利用含k的代數式表示出BD、CD的長．