Question

在某張航海圖上，標明了三個觀測點的坐標，如圖，O（0，0）、B（6，0）、C（6，8），由三個觀測點確定的圓形區域是海洋生物保護區．
（1）求圓形區域的面積（π取3.14）；
（2）某時刻海面上出現-漁船A，在觀測點O測得A位于北偏東45°，同時在觀測點B測得A位于北偏東30°，求觀測點B到A船的距離．（≈1.7，保留三個有效數字）；
（3）當漁船A由（2）中位置向正西方向航行時，是否會進入海洋生物保護區？通過計算回答．

Answer 1

解：（1）連接CB，CO，則CB∥y軸，
∴∠CBO=90°，
設O′為由O、B、C三點所確定圓的圓心．
則OC為⊙O′的直徑．
由已知得OB=6，CB=8，由勾股定理得OC=
半徑OO′=5，S_⊙O′=π•5²=25π=78.50．

（2）解法一：過點A作AD⊥x軸于點D，依題意，得∠BAD=30°，
在Rt△ABD中，設BD=x，則AB=2x，
由勾股定理得，AD=，
由題意知：OD=OB+BD=6+x，在Rt△AOD中，OD=AD，6+x=，
∴x==3（+1）≈3（1.7+1）=8.1，
∴AB=2x=2×8.1=16.2；
解法二：過點A作AD⊥x軸于點D，則∠AOD=45°，∠BAD=30°，∠ABD=90°-30°=60°，
在Rt△ABD中，設BD=x，則AB=2x．
∵tan60°=，
∴AD=xtan60°=；
在Rt△AOD中，OD=OB+BD=6+x，
∵tan45°=，
∴AD=tan45°•（6+x）=6+x．
∴=6+x，x==3（+1）≈3（1.7+1）=8.1，
∴AB=2x=2×8.1=16.2．
或AB=≈6（1.7+1）=16.2；
解法三：過點A作AD⊥x軸于點D．
在Rt△ABD中，設BD=x，AD=y，
∵∠ABD=90°-30°=60°，tan60°=，∴．
在Rt△AOD中，∠AOD=45°，OD=6+x．
∵tan45°=，
∴y=6+x，
∴=6+x，以下同解法二．

（3）解法一：過點A作AG⊥y軸于點G．
過點O′作O′E⊥OB于點E，并延長EO′交AG于點F．
由（1）知，OO′=5，由垂徑定理得，OE=BE==3．
∴在Rt△OO′E中，由勾股定理得，O′E=
∵四邊形FEDA為矩形．
∴EF=DA，而AD=×8.57≈14.6，
∴O′F=14.6-4=10.6＞5，
∴直線AG與⊙O′相離，A船不會進入海洋生物保護區．
解法二：AD=x=×3（+1）=9+3，
設直線O′F交⊙O′于點P，PE=5+4=9＜，
即PE＜AD，由矩形FEDA可得FE=AD．
∴PE＜FE，
所以A船不會進入海洋生物保護區．
分析：（1）根據題意，求得半徑的長，再根據面積公式求得圓形區域的面積；
（2）根據勾股定理求得AB的長；
（3）根據已知求得AD的長，設直線O′F交⊙O′于點P，從而求得PE的長．將PE與AD比較，若PE＜AD則不會進入海洋生物保護區，否則能進入．
點評：此題考查了學生對圓形的面積，勾股定理及方向角等知識點的掌握情況．