Question

試求出這樣的四位數，它的前兩位數字與后兩位數字分別組成的二位數之和的平方，恰好等于這個四位數．

Answer 1

分析：設前后兩個二位數分別為x，y，則有（x+y）²=100x+y，將此方程整理成關于x（或y）的一元二次方程，在方程有解的前提下，運用判別式確定y（或x）的取值范圍．

解答：解：設前后兩個二位數分別為x，y，
∴（x+y）²=100x+y．
x²+2（y-50）x+（y²-y）=0．
b²-4ac=4（y-50）²-4（y²-y）=4（2500-99y）≥0，
解得y≤25

25

99

，
當y≤25

25

99

時，原方程有解．
∴x=

-2(y-50)± △

2

=50-y±

2500-99y

，
∴2500-99y必為完全平方數，
∵完全平方數的末位數字只可能為0；1；4；5；6；9．x的數位是2位，y是2位．
∴y=25，
∴x=30或20，
∴所求的四位數為3025或2025．

點評：考查完全平方數的知識；得到前兩位數字與后兩位數字分別組成的二位數之和的平方的等量關系是解決本題的關鍵；判斷出y的值是解決本題的難點．