Question

（2012•泰州模擬）如圖，拋物線y=ax²+bx+c經過點A（-2，0）、B（4，3）兩點，且當x=3和x=-3時，這條拋物線上對應點的縱坐標相等，經過點C（0，-2）的直線l與x軸平行．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）若D是直線l上的一個動點，求使△DAB的周長最小時點D的坐標；
（3）以這條拋物線上的任意一點P為圓心，PO的長為半徑作⊙P，試判斷⊙P與直線l的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用當x=3和x=-3時，這條拋物線上對應點的縱坐標相等，所以b=0，假設出解析式為y=ax²+c，進而利用待定系數法求二次函數解析式即可；
（2）利用軸對稱得出D點位置，進而求出直線A′B的解析式，即可求出D點坐標；
（3）首先求出圓的半徑PO，進而得出點P到直線l的距離，進而得出⊙P與直線l的位置關系即可．

解答：解：（1）因為當x=3和x=-3時，這條拋物線上對應點的縱坐標相等，所以b=0．
把x=-2，y=0；x=4，y=3，代入y=ax²+c，得：

4a+c=0 16a+c=3

，
解得

a= 1 4 c=-1

，
所以這條拋物線的解析式為y=

1

4

x2-1．

（2）作點A（-2，0）關于直線l的對稱點A′（-2，-4），
如圖，連接A′B交直線l于點D，此時△DAB的周長最小．
設直線A′B的解析式為y=kx+m，把x=-2，y=-4；x=4，y=3，代入y=kx+m，得：

-2k+m=-4 4k+m=3

，
解得

k= 7 6 m=- 5 3

，
所以直線A′B的解析式為y=

7

6

x-

5

3

，
利用直線A′B于l相交，則-2=

7

6

x-

5

3

，
解得：x=-

2

7

，
故點D的坐標(-

2

7

，-2)．

（3）⊙P與直線l相切．
設拋物線y=

1

4

x2-1上任意一點P的坐標為(p，

1

4

p2-1)，則
PO=

p2+( 1 4 p2-1)2

=

1 16 p4+ 1 2 p2+1

=

( 1 4 p2+1)2

=

1

4

p2+1，
點P到直線l的距離=

1

4

p2-1-(-2)=

1

4

p2+1，
所以點P到直線l的距離=⊙P的半徑PO，
所以⊙P與直線l相切．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及切線的判定、待定系數法求一次、二次函數解析式等知識，利用軸對稱得出D點位置是解題關鍵．