Question

試說明：將和1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

40

寫成最簡分數

m

n

時，m不會是5的倍數．

Answer 1

證明：通分得，1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

40

=

40!+ 40! 2 + 40! 3 +…+ 40! 40

40!

（40!=1×2×3×…×40）．
觀察發現：分母包括9個5的乘積（5，10，15，20，25，30，35，40），即分母含有因數5⁹．如果m是5的倍數，那么分子至少包括10個5的乘積．
現在看分子：分子是40個數的和，其中每一個數都是1×2×3×…×40除以一個1到40的數，這40個數中有32個數是5⁹的倍數（就是除以的那個數不是5的倍數），7個數是5⁸的倍數（除以的那個數是5的倍數但不是25），1個數是5⁷的倍數（除以的數是25），所以，分子可以寫成5⁷（5²A+5B+C），由于（5²A+5B）是5的倍數，而C不是5的倍數，所以（5²A+5B+C）不是5的倍數，即分子僅包含5⁷，而分母包含5⁹，所以約分后的分子（5²A+5B+C）不是5的倍數．
即將和1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

40

寫成最簡分數

m

n

時，m不會是5的倍數．