Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是弦，且平分∠BAD，AD⊥CD，垂足為D，交⊙O于點E
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若CD=2，AD=2

3

，求⊙O的半徑；
（3）在（2）的條件下，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）連接OC，由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA，然后利用角平分線的性質可以證明∠DAC=∠OCA，接著利用平行線的判定即可得到OC∥AD，然后就得到OC⊥CD，由此即可證明直線CD是⊙O的切線；
（2）首先由勾股定理求出AC，再連接BC，根據圓周角定理的推理得到∠ACB=90°，又∠DAC=∠OAC，由此可以得到△ADC∽△ACB，然后利用相似三角形的性質即可解決問題；
（3）連接OE，OC，則三角形OAE為等邊三角形，角COE為60度，陰影部分面積可以分別求出：上一部分：是個弓形，圓心角等于60度，半徑已經求出，因而面積可以求出，下一部分，用梯形OCDE面積減去扇形OCE面積即可．

解答：（1）證明：連接OC．
∵OA=OC（⊙O的半徑），
∴∠OCA=∠OAC（等邊對等角）；
又∵AC平分∠BAD，
∴∠OAC=∠CAD，
∴∠ACO=∠CAD（等量代換），
∴OC∥AD（內錯角相等，兩直線平行）；
而AD⊥CD，
∴OC⊥CD，即CD是⊙O的切線；

（2）解：∵AD⊥CD，
∴在Rt△ADC中，
AC=

22+(2 3 )2

=4，
連接BC，則∠ACB=90°
∵∠DAC=∠OAC
∴△ADC∽△ACB
∴

AD

AC

=

AC

AB

∴AB=

AC2

AD

=

42

2 3

=

8 3

3

，
∴OB=

1

2

AB=

1

2

×

8 3

3

=

4 3

3

，
所以⊙O的半徑為

4 3

3

．

（3）解：連接OE、OC，
則△OAE為等邊三角形，
∴∠AOE=∠AEO=∠COE=60°，
∴扇形AOE的面積=扇形OCE的面積，
∴△AOE和梯形OCDE的高為：

4 3

3

•sin60°=

4 3

3

×

3

2

=2，
∴DE=AD-AE=2

3

-

4 3

3

=

2 3

3

，
所以圖中陰影部分的面積=（扇形AOE的面積-△AOE的面積）+（梯形OCDE的面積-扇形OCE的面積）
=扇形AOE的面積-△AOE的面積+梯形OCDE的面積-扇形OCE的面積
=梯形OCDE的面積-△AOE的面積
=

1

2

×（

4 3

3

+

2 3

3

）×2-

1

2

×

4 3

3

×2=

2 3

3

（平方單位），
所以圖中陰影部分的面積為

2 3

3

（平方單位）．

點評：此題主要考查了切線的性質與判定，解題時首先利用切線的判定證明切線，然后利用切線的性質及已知條件證明三角形相似即可解決問題．