Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4．若動點D在線段AC上（不與點A、C重合），過點D作DE⊥AC交AB邊于點E．點A關于點D的對稱點為點F，以FC為半徑作⊙C，當DE=_______時，⊙C與直線AB相切．

Answer 1

【答案】或

【解析】

求出AB上的高，CH，即可得出圓的半徑，證△ADE∽△ACB得出比例式，代入求出即可．

過C作CH⊥AB于H，

∵∠ACB=90°，BC=2，AB=4，AC=6，

∴由三角形面積公式得：BCAC=ABCH，

CH=3，

分為兩種情況：①如圖，

∵CF=CH=3，

∴AF=6-3=3，

∵A和F關于D對稱，

∴DF=AD=，

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ACB，

∴，

∴，

DE=；

②如圖2，

∵CF=CH=3，

∴AF=6+3=9，

∵A和F關于D對稱，

∴DF=AD=4.5，

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ACB，

∴，

∴，

DE=.