Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線與x，y軸分別交于A、B兩點，M是OB上一點，將△ABM沿AM折疊，點B恰好落在x軸上的點C．
（1）求點C的坐標；
（2）求直線AM的解析式；
（3）設直線l：x=t（-4＜t＜6）與直線AM的交點為P，與過A、B、C三點的拋物線交于點Q，求PQ的最大值．

Answer 1

解：（1）當X=0時，y=8；當y=0時，x=6
∴A（6，0），B（0，8）
∴AO=6，BO=8
∵AB²=AO²+BO²
∴AB=10，
依題意得：AC=AB，MC=MB
∴C（-4，0）

（2）在△MOC中，設OM=a，則MC=OB-MO=8-a
∴OC²=MC²-MO²即16=（8-a）²-a²
∴a=3，M（0，3）
設直線MA的解析式為y=kx+b
∴解得：
∴直線MA的解析式為：y=-x+3；

（3）設經過A（6，0），B（0，8），C（-4，0）的拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c
∴36a+6b+c=0，
0=16a-4a+c，
8=c
∴a=-，b=，c=8∴y=-x²+x+8
∴直線x=t與直線AM的交點P的坐標：P（t，-t+3），與拋物線y=-x²+x+8的交點坐標Q（t，-t²+t+8）
∴PQ=-t²+t+8-（-t+3）
=-t²+t+5=-（t-）²+
∴當t=時，PQ的最大值為
分析：由題知，AB沿AM翻轉到AC，可通過折疊的性質推出，線段AC=AB，從而求出點C坐標，結合三角形勾股定理和拋物線的解析式，求解出PQ的最大值．
點評：本題主要考查翻轉后圖形的性質，和拋物線與直線聯系，能夠很好的考查學生關于此類問題的基本功，需要考生平時細心做題．