Question

如圖，已知OA⊥OB，OA=4，OB=3，以AB為邊作矩形ABCD，使AD=a，過點D作DE垂直OA的延長線交于點E．
（1）證明：△OAB∽△EDA；
（2）當a為何值時，△OAB與△EDA全等？請說明理由，并求出此時點C到OE的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于四邊形ABCD是矩形，則∠BAD=90°，那么∠OBA、∠DAE同為∠BAO的余角，即∠OBA=∠DAE，而∠BOA、∠DEA都是直角，由此可證得△OAB∽△EDA．
（2）若△OAB與△EDA全等，則AB=AD，在Rt△OAB中，利用勾股定理易求得AB=5，那么a=AD=AB=5；
求C到OE的距離，可過C作CH⊥OE于H，過B作BF⊥CH于F；那么CH就是所求的距離，通過上面的解題思路，易證得△CBF≌△ABO，得CH=OA=4，BO=BF，那么四邊形BOHF是正方形，由此可得FH=BO=3，根據CH=CF+FH即可求得C到OE的距離．
解答：（1）證明：如圖所示，
∵OA⊥OB，
∴∠1+∠2=90°，
又∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，（1分）
∵OA⊥OB，OE⊥OA，
∴∠BOA=∠DEA=90°，（2分）
∴△OAB∽△EDA．（3分）

（2）解：在Rt△OAB中，AB==5，（4分）
由（1）可知∠1=∠3，∠BOA=∠DEA=90°，
∴當a=AD=AB=5時，△AOB與△EDA全等．（5分）
當a=AD=AB=5時，可知矩形ABCD為正方形，
∴BC=AB，如圖，過點C作CH⊥OE交OE于點H，
則CH就是點C到OE的距離，過點B作BF⊥CH交CH于點F，
則∠4與∠5互余，∠1與∠5互余，
∴∠1=∠4，（6分）
又∵∠BFC=∠BOA，BC=AB，
∴△OAB≌△FCB（AAS），（7分）
∴CF=OA=4，BO=BF．
∴四邊形OHFB為正方形，
∴HF=OB=3，
∴點C到OE的距離CH=CF+HF=4+3=7．（8分）
點評：此題主要考查了矩形、正方形的性質，相似三角形、全等三角形的判定和性質，難度適中．