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如圖,已知OA⊥OB,OA=4,OB=3,以AB為邊作矩形ABCD,使AD=a,過點D作DE垂直OA的延長線交于點E.
(1)證明:△OAB∽△EDA;
(2)當a為何值時,△OAB與△EDA全等?請說明理由,并求出此時點C到OE的距離.

【答案】分析:(1)由于四邊形ABCD是矩形,則∠BAD=90°,那么∠OBA、∠DAE同為∠BAO的余角,即∠OBA=∠DAE,而∠BOA、∠DEA都是直角,由此可證得△OAB∽△EDA.
(2)若△OAB與△EDA全等,則AB=AD,在Rt△OAB中,利用勾股定理易求得AB=5,那么a=AD=AB=5;
求C到OE的距離,可過C作CH⊥OE于H,過B作BF⊥CH于F;那么CH就是所求的距離,通過上面的解題思路,易證得△CBF≌△ABO,得CH=OA=4,BO=BF,那么四邊形BOHF是正方形,由此可得FH=BO=3,根據CH=CF+FH即可求得C到OE的距離.
解答:(1)證明:如圖所示,
∵OA⊥OB,
∴∠1+∠2=90°,
又∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠BAD=90°,
∴∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠3,(1分)
∵OA⊥OB,OE⊥OA,
∴∠BOA=∠DEA=90°,(2分)
∴△OAB∽△EDA.(3分)

(2)解:在Rt△OAB中,AB==5,(4分)
由(1)可知∠1=∠3,∠BOA=∠DEA=90°,
∴當a=AD=AB=5時,△AOB與△EDA全等.(5分)
當a=AD=AB=5時,可知矩形ABCD為正方形,
∴BC=AB,如圖,過點C作CH⊥OE交OE于點H,
則CH就是點C到OE的距離,過點B作BF⊥CH交CH于點F,
則∠4與∠5互余,∠1與∠5互余,
∴∠1=∠4,(6分)
又∵∠BFC=∠BOA,BC=AB,
∴△OAB≌△FCB(AAS),(7分)
∴CF=OA=4,BO=BF.
∴四邊形OHFB為正方形,
∴HF=OB=3,
∴點C到OE的距離CH=CF+HF=4+3=7.(8分)
點評:此題主要考查了矩形、正方形的性質,相似三角形、全等三角形的判定和性質,難度適中.
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(1)、(2)、(3)
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