Question

如圖，已知正方形ABCD的對角線AC、BD相交于O，經過A、O的圓分別與AB、AD相交于E、F，EF與AO相交于G，AD=16．
（1）圖中有哪些三角形與△AGF相似（只寫出結論，不必證明）；
（2）試證明AE+AF是一個定值，并指出這個定值為多少？
（3）若AG：GO=3：5，且AF＞AE，求DH的長．

Answer 1

解：（1）與△AGF相似的有△EGO、△AEO、△DFO；
（2）∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA=OD，∠BAO=∠DAO=45°，
在△AEO與△DFO中
，
∴△AEO≌△DFO（AAS），
∴AE=DF，
∴AE+AF=AD=16；
（3）∵四邊形ABCD是正方形，
∴△OAD為等腰直角三角形，
∴OA=OD=AD=8，
∵AG：GO=3：5，
∴AG=3，GO=5，
∵△EGO∽△AEO，
∴OE：OA=OG：OE，即OE²=OA•OG=8•5=80，
∴OE=4，
∵∠EAO=∠EFO=45°，∠EOF=90°，
∴△OEF為等腰直角三角形，
∴EF=OE=4，
∵△AGF∽△EGO，
∴AG：EG=FG：OG，即3：EG=（4-EG）：5，
解得EG=，EG=3（舍去），
∴AF：OE=AG：EG，即AF：4=3：，
∴AF=12，
∴DF=AD-AF=4，
∵DF•DA=DH•DO，
∴DH==4．
分析：（1）根據正方形的性質得到∠EAO=∠FAG=∠FDO=45°，根據同弧所對的圓周角相等得到∠OEG=∠OAF=45°，∠AOE=∠AFO，根據圓周角定理由∠EAF=90°得到EF為⊙O的直徑，則∠EOF=90°，而∠AOD=90°，根據等角的余角相等得到∠AOE=∠DOF，然后利用三角形相似的判定可得到△AGF∽△EGO∽△AEO∽△DFO；
（2）首先可證△AEO≌△DFO，即可得AE=DF，繼而求得AE+AF的值；
（3）根據正方形的性質可判斷△OAD為等腰直角三角形，則OA=OD=AD=8，所以AG=3，GO=5，再由△EGO∽△AEO，利用相似比可計算出OE=4，
再判斷△OEF為等腰直角三角形，則EF=OE=4，接著由△AGF∽△EGO，利用相似比可先計算EG=，再計算出AF=12，則DF=AD-AF=4，
然后根據切割線定理計算DH．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質：有兩組角對應相等的兩個三角形相似；相似三角形對應角相等，對應邊的比相等．也考查了全等三角形的判定與性質、圓周角定理和正方形的性質．