Question

如圖，AB是半圓O的直徑，過點O作弦AD的垂線交切線AC于點C，OC與半圓O交于點E，連接BE，DE．
（1）求證：∠BED=∠C；
（2）若OA=5，AD=8，求AC的長．

Answer 1

分析：（1）由切線的性質得∠1+∠2=90°；由同角的余角相等得到∠C=∠2．由圓周角定理知∠BED=∠2，故∠BED=∠C；
（2）連接BD．由直徑直徑對的圓周角是直角得∠ADB=90°，由勾股定理求得BD=

AB2-AD2

=

102-82

=6．
由△OAC∽△BDA得OA：BD=AC：DA，從而求得AC的值．

解答：（1）證明：∵AC是⊙O的切線，AB是⊙O直徑，
∴AB⊥AC．
則∠1+∠2=90°，
又∵OC⊥AD，
∴∠1+∠C=90°，
∴∠C=∠2，
而∠BED=∠2，
∴∠BED=∠C；

（2）解：連接BD，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ADB=90°，
∴BD=

AB2-AD2

=

102-82

=6，
∴△OAC∽△BDA，
∴OA：BD=AC：DA，
即5：6=AC：8，
∴AC=

20

3

．

點評：本題利用了切線的性質，直徑對的圓周角是直角，同角的余角相等，相似三角形的判定和性質求解．