Question

（2008•青海）王亮同學善于改進學習方法，他發現對解題過程進行回顧反思，效果會更好．某一天他利用30分鐘時間進行自主學習．假設他用于解題的時間x（單位：分鐘）與學習收益量y的關系如圖甲所示，用于回顧反思的時間x（單位：分鐘）與學習收益量y的關系如圖乙所示（其中OA是拋物線的一部分，A為拋物線的頂點），且用于回顧反思的時間不超過用于解題的時間．

（1）求王亮解題的學習收益量y與用于解題的時間x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）求王亮回顧反思的學習收益量y與用于回顧反思的時間x之間的函數關系式；
（3）王亮如何分配解題和回顧反思的時間，才能使這30分鐘的學習收益總量最大？
（學習收益總量=解題的學習收益量+回顧反思的學習收益量）

Answer 1

【答案】分析：（1）設y=kx代入（2，4）可得k與y的值．x∈（15，30）
（2）設y=a（x-5）²+25，代（0，0）進可得a=-1．則可以求出y的解．但要注意的是要分情況分條件．
（3）根據題意可得z=-（x-4）²+76可推出z隨著x的增大而減小．
解答：解：（1）設y=kx，把（2，4）代入，
得k=2．
∴y=2x．（1分）
自變量x的取值范圍是：
15≤x≤30．（2分）

（2）當0≤x≤5時，設y=a（x-5）²+25，（3分）
把（0，0）代入，得
25a+25=0，a=-1．
∴y=-（x-5）²+25=-x²+10x．（5分）
當5≤x≤15時，y=25（6分）
即．

（3）設王亮用于回顧反思的時間為x（0≤x≤15）分鐘，學習效益總量為Z，
則他用于解題的時間為（30-x）分鐘．
當0≤x≤5時，Z=-x²+10x+2（30-x）=-x²+8x+60=-（x-4）²+76．（7分）
∴當x=4時，Z_最大=76．（8分）
當5≤x≤15時，Z=25+2（30-x）=-2x+85．（9分）
∵Z隨x的增大而減小，
∴當x=5時，Z_最大=75
綜合所述，當x=4時，Z_最大=76，此時30-x=26．（10分）
即王亮用于解題的時間為（26分）鐘，用于回顧反思的時間為（4分）鐘時，學習收益總量最大．（11分）
點評：求二次函數的最大（小）值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法．運用二次函數解決實際問題．