Question

已知：如圖，⊙O與⊙P相交于A、B兩點，點P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于點A，CP及其延長線交⊙P于D、E，過點E作EF⊥CE交CB的延長線于F．
（1）求證：BC是⊙P的切線；
（2）若CD=2，CB=2

2

，求EF的長．

Answer 1

分析：（1）連接PA，PB，根據圓內接四邊形對角互補證明∠PBC是直角，從而可以確定CB是⊙P的切線；
（2）根據△FCE∽△PCB，則

CB

CE

=

BP

EF

，由于CB是⊙P的切線，所以根據CB²=CD•（CD+DE），可以求得DE的長度，進而求得CE的長度；再求得BP的長度即可，在Rt△CPB中，CP=3，CB=2，則可求得EF的長度．

解答：解：（1）連接PB，PA，
∵點P在⊙O上，
∵⊙O的弦AC切⊙P于點A，
∴∠CAP=90°，
∵四邊形APBC是⊙O的內接四邊形，
∴∠PBC=90°，即PB⊥CB．
∵B在⊙P上，
∴CB是⊙P的切線．

（2）∵CB是⊙P的切線，
∴CB²=CD•（CD+DE）．
∵CD=2，CB=2

2

，
∴（2

2

）2═2×（2+ED）．
∴DE=2．
∴CE=CD+DE=2+2=4．
∴在⊙P中，PD=PE=

1

2

ED=1，
∵CP=3，CB=2

2

，
∴BP=1．
∵EF⊥CE，
∴∠FEC=∠CBP=90°，∠FCE=∠PCB．
∴△FCE∽△PCB．
∴

CB

CE

=

BP

EF

，
∵CB=2

2

，CE=4，BP=1，
∴

2 2

4

=

1

EF

，
∴EF=

2

．

點評：本題考查的是相交兩圓的性質、切線的判定和切線的性質以及相似三角形的判定和相似三角形的性質，題目的綜合性不小，屬于中檔題．