Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，直線y＝x＋4經(jīng)過A，C兩點．

(1)求拋物線的表達式；

(2)在AC上方的拋物線上有一動點P．

①如圖1，當(dāng)點P運動到某位置時，以AP，AO為鄰邊的平行四邊形第四個頂點恰好也在拋物線上，求出此時點P的坐標(biāo)；

②如圖2，過點O，P的直線y＝kx交AC于點E，若PE∶OE＝3∶8，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，②或

【解析】

（1）由直線的解析式y＝x＋4易求點A和點C的坐標(biāo)，把A和C的坐標(biāo)分別代入y＝x2＋bx＋c求出b和c的值即可得到拋物線的解析式；

（2）①若以AP，AO為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點Q恰好也在拋物線上，則PQ∥AO，再根據(jù)拋物線的對稱軸可求出點P的橫坐標(biāo)，由（1）中的拋物線解析式，進而可求出其縱坐標(biāo)，問題得解；

②過P點作PF∥OC交AC于點F，因為PF∥OC，所以△PEF∽△OEC，由相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊的比值相等可求出PF的長，進而可設(shè)點點F（x，x＋4），利用(x2x＋4)(x＋4)＝，可求出x的值，解方程求出x的值可得點P的坐標(biāo)，代入直線y＝kx即可求出k的值．

解：(1)∵直線y＝x＋4經(jīng)過A，C兩點，

∴A(－4，0)，C(0，4)．

又∵拋物線過A，C兩點，

∴解得，

∴拋物線的表達式為y＝－x2－x＋4．

(2)①∵y＝－x2－x＋4，

∴拋物線的對稱軸是直線x＝－1．

∵以AP，AO為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點Q恰好也在拋物線上，

∴PQ∥AO，PQ＝AO＝4

∵P，Q都在拋物線上，

∴P，Q關(guān)于直線x＝－1對稱．

∴P點的橫坐標(biāo)是－3，

∴當(dāng)x＝－3時，y＝－×(－3)2－(－3)＋4＝

∴P點的坐標(biāo)是(－3，)．

②過點P作PF∥OC交AC于點F，

∵PF∥OC，

∴△PEF∽△OEC

∴＝

又∵＝，OC＝4，

∴PF＝

設(shè)點F(x，x＋4)，

∴P(x，－x2－x＋4)

∴(－x2－x＋4)－(x＋4)＝

解得x1＝－1，x2＝－3

∴P點坐標(biāo)是(－1，)或(－3，)．

又∵點P在直線y＝kx上，

∴k＝－或k＝－．