Question

【題目】如圖，已知P點是∠AOB平分線上一點，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足為C、D。

（1）求證：∠PCD=∠PDC；（2）求證：OP垂直平分線段CD

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

（1）∠PCD=∠PDC．由于P點是∠AOB平分線上一點，根據角平分線的性質可以推出PC=PD，然后利用等腰三角形的性質即可得到結論；

（2）根據已知條件首先容易證明Rt△POC≌Rt△POD，從而得到OC=OD，由（1）有PC=PD，利用線段的垂直平分線的判定即可證明結論．

(1)∠PCD=∠PDC.

理由：∵OP是∠AOB的平分線，

且PC⊥OA，PD⊥OB，

∴PC=PD，

∴∠PCD=∠PDC；

(2)OP是CD的垂直平分線.

理由：∵∠OCP=∠ODP=90°，

在Rt△POC和Rt△POD中，

，

∴Rt△POC≌Rt△POD(HL)，

∴OC=OD，

由PC=PD，OC=OD，可知點O、P都是線段CD的垂直平分線上的點，

從而OP是線段CD的垂直平分線.