Question

如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，P是反比例函數y=（x＞0）圖象上任意一點，以P為圓心，PO為半徑的圓與坐標軸分別交于點A、B．
（1）求證：線段AB為⊙P的直徑；
（2）求△AOB的面積；
（3）如圖2，Q是反比例函數y=（x＞0）圖象上異于點P的另一點，以Q為圓心，QO為半徑畫圓與坐標軸分別交于點C、D．
求證：DO•OC=BO•OA．

Answer 1

【答案】分析：（1）∠AOB=90°，由圓周角定理的推論，可以證明AB是⊙P的直徑；
（2）將△AOB的面積用含點P坐標的表達式表示出來，容易計算出結果；
（3）對于反比例函數上另外一點Q，⊙Q與坐標軸所形成的△COD的面積，依然不變，與△AOB的面積相等．
解答：（1）證明：∵∠AOB=90°，且∠AOB是⊙P中弦AB所對的圓周角，
∴AB是⊙P的直徑．

（2）解：設點P坐標為（m，n）（m＞0，n＞0），
∵點P是反比例函數y=（x＞0）圖象上一點，∴mn=12．
如答圖，過點P作PM⊥x軸于點M，PN⊥y軸于點N，則OM=m，ON=n．
由垂徑定理可知，點M為OA中點，點N為OB中點，
∴OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，
∴S_△AOB=BO•OA=×2n×2m=2mn=2×12=24．

（3）證明：若點Q為反比例函數y=（x＞0）圖象上異于點P的另一點，
參照（2），同理可得：S_△COD=DO•CO=24，
則有：S_△COD=S_△AOB=24，即BO•OA=DO•CO，
∴DO•OC=BO•OA．
點評：本題考查了反比例函數的圖象與性質、圓周角定理、垂徑定理等知識，難度不大．試題的核心是考查反比例函數系數的幾何意義．對本題而言，若反比例函數系數為k，則可以證明⊙P在坐標軸上所截的兩條線段的乘積等于4k；對于另外一點Q所形成的⊙Q，此結論依然成立．