Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知點A、B、C的坐標分別為（-1，0），（5，0），（0，2）．若點P從A點出發，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度向B點移動，連接PC并延長到點E，使CE=PC，將線段PE繞點P順時針旋轉90°得到線段PF，連接FB．若點P在移動的過程中，使△PBF成為直角三角形，則點F的坐標是

（5，2），（

5 +7

2

，

5

-1）

．

Answer 1

分析：當P位于線段OA上時，顯然△PFB不可能是直角三角形；由于∠BPF＜∠CPF=90°，所以P不可能是直角頂點，可分兩種情況進行討論：
①F為直角頂點，過F作FD⊥x軸于D，BP=6-t，DP=2OC=4，在Rt△OCP中，OP=t-1，由勾股定理易求得CP=t²-2t+5，那么PF²=（2CP）²=4（t²-2t+5）；在Rt△PFB中，FD⊥PB，由射影定理可求得PB=PF²÷PD=t²-2t+5，而PB的另一個表達式為：PB=6-t，聯立兩式可得t²-2t+5=6-t，即t=

5 +1

2

；
②B為直角頂點，那么此時的情況與（2）題類似，△PFB∽△CPO，且相似比為2，那么BP=2OC=4，即OP=OB-BP=1，此時t=2．

解答：解：能；
①若F為直角頂點，過F作FD⊥x軸于D，則BP=6-t，DP=2OC=4，
在Rt△OCP中，OP=t-1，
由勾股定理易求得CP²=t²-2t+5，那
么PF²=（2CP）²=4（t²-2t+5）；
在Rt△PFB中，FD⊥PB，
由射影定理可求得PB=PF²÷PD=t²-2t+5，
而PB的另一個表達式為：PB=6-t，
聯立兩式可得t²-2t+5=6-t，即t=

5 +1

2

，
P點坐標為（

5 -1

2

，0），
則F點坐標為：（

5 +7

2

，

5

-1）；

②B為直角頂點，那么此時的情況與（2）題類似，△PFB∽△CPO，且相似比為2，
那么BP=2OC=4，即OP=OB-BP=1，此時t=2，
P點坐標為（1，0）．FD=2（t-1）=2，
則F點坐標為（5，2）．
故答案是：（5，2），（

5 +7

2

，

5

-1）．

點評：此題考查了直角三角形的判定、相似三角形的判定和性質等重要知識點；在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．