Question

如圖（1），在等邊的頂點(diǎn)B、C處各有一只蝸牛，它們同時(shí)出發(fā)△ABC分別以每分鐘1各單位的速度油B向C和由C向A爬行，其中一只蝸牛爬到終點(diǎn)s時(shí)，另一只也停止運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)t分鐘后，它們分別爬行到D，P處，請(qǐng)問(wèn)：
（1）在爬行過(guò)程中，BD和AP始終相等嗎？為什么？
（2）問(wèn)蝸牛在爬行過(guò)程中BD與AP所成的∠DQA大小有無(wú)變化？請(qǐng)證明你的結(jié)論．
（3）若蝸牛沿著BC和CA的延長(zhǎng)線爬行，BD與AP交于點(diǎn)Q，其他條件不變，如圖（2）所示，蝸牛爬行過(guò)程中的∠DQA大小變化了嗎？若無(wú)變化，請(qǐng)證明．若有變化，請(qǐng)直接寫出∠DQA的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出∠CAB=∠C=∠ABP=60°，AB=BC，根據(jù)SAS推出△BDC≌△APB即可．
（2）根據(jù)△BDC≌△APB得出∠CBD=∠BAP，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠DQA=∠ABC，即可求出答案．
（3）求出CP=AD，∠ACP=∠BAD，根據(jù)SAS推出△ABD≌△ACP，求出∠CAP=∠ABD，求出∠AQD=∠CAP+∠QAB=180°-∠CAB，即可求出答案．

解答：解：（1）在爬行過(guò)程中，BD和AP始終相等，
理由是：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠CAB=∠C=∠ABP=60°，AB=BC，
在△BDC和△APB中，

BC=AB ∠C=∠ABP CD=BP

，
∴△BDC≌△APB（SAS），
∴BD=AP．

（2）蝸牛在爬行過(guò)程中BD與AP所成的∠DQA大小無(wú)變化，
理由：∵△BDC≌△APB，
∴∠CBD=∠BAP，
∴∠DQA=∠DBA+∠BAP=∠DBA+∠CBD=∠ABC=60°，
即蝸牛在爬行過(guò)程中BD與AP所成的∠DQA大小無(wú)變化，始終是60°．

（3）蝸牛爬行過(guò)程中的∠DQA大小變化了，
理由是：根據(jù)題意得：BP=CD，
∵BC=AC，
∴CP=AD，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=AB，∠CAB=∠ACB=60°，
∵∠ACP+∠ACB=180°，∠DAB+∠CAB=180°，
∴∠ACP=∠BAD，
在△ABD和△ACP中，

AB=AC ∠BAD=∠ACP AD=CP

，
∴△ABD≌△ACP（SAS），
∴∠CAP=∠ABD，
∴∠AQD=∠ABD+∠BAQ=∠CAP+∠QAB
=180°-∠CAB
=180°-60°
=120°，
即蝸牛爬行過(guò)程中的∠DQA大小變化了，等于120°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．