Question

探索與研究：
在△ABC中，∠ABC=90°，分別以邊AB、BC、CA向△ABC外作正方形ABHI、正方形BCGF、正方形CAED，連接GD、AG、BD．
（1）如圖甲，求證：AG=BD．
（2）如圖乙，試說明：S_△ABC=S_△CDG．
（提示：正方形的四條邊相等，四個角均為直角）

Answer 1

分析：（1）由正方形的性質就可以得出△ACG≌△DCB，就可以得出結論；
（2）延長DC交GF于H，證明△BMC≌△GNC，就可以得出BM=GN，就可以得出結論．

解答：解：（1）∵四邊形ABHI、四邊形BCGF和四邊形CAED都是正方形，
∴AB=BH=HI=AI，BC=CG=GF=BF，AE=DE=CD=AC，∠H=∠I=∠E=∠F=∠IAB=∠ABH=∠FBC=∠BCG=∠FGC=∠BAC=∠ACD=90°．
∴∠ACD+∠ACB=∠BCG+∠ACB，
∴∠DCB=∠ACG．
在△ACG和△DCB中，

AC=DC ∠ACG=∠DCB BC=GC

，
∴△ACG≌△DCB（SAS），
∴AG=BD；

（2）如圖2，作BM⊥AC于M，GN⊥DC的延長于點N．
∴∠BMC=∠N=90°
∵∠+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3．
在△BMC和△GNC中，

∠1=∠3 ∠BMC=∠N BC=GC

，
∴△BMC≌△GNC（SAS），
∴BM=GN，
∴

1

2

AC•BM=

1

2

DC•GN，
∵S_△ABC=

1

2

AC•BM，S_△DCG=

1

2

DC•GN，
∴S_△ABC=S_△CDG．

點評：本題考查了正方形的性質的運用，三角形全等的判定及性質的運用，三角形的面積公式的運用，在解答時證明三角形全等是關鍵．