Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，DC=5，AB=4

2

，∠B=45°，動點M從B點出發沿線段BC以每秒1個單位長度的速度向終點C運動；動點N同時從C點出發沿CDA以每秒2個單位長度的速度向終點A運動，若M、N兩點同時出發，當其中一點到達端點（終點）時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為t秒．
（1）計算點N從C點出發到達終點A所需的時間；
（2）求BC的長；
（3）t為何值時，四邊形ABMN為平行四邊形；
（4）t為何值時，四邊形CDNM為等腰梯形．

Answer 1

分析：（1）求出AD+DC，即可求出答案；
（2）過A作AE⊥BC于E，過D作DF⊥BC于F，得出矩形AEFD，求出EF=AD=4，AE=DF=4，根據勾股定理求出BE和CF，即可求出BC；
（3）根據平行四邊形的性質得出AN=MB，代入得出9-2t=t，求出即可；
（4）過N作NQ⊥BC于Q，求出MQ，QF，FC，根據BC=11代入求出即可．

解答：解：（1）∵AD+DC=4+5=9，
∴點N從C點出發到達終點A所需的時間是

9

2

=4.5（秒）；

（2）
過A作AE⊥BC于E，過D作DF⊥BC于F，
則AE∥DF，∠AEF=90°，
∵AD∥BC，
∴四邊形AEFD是矩形，
∴AD=EF=4，AE=DF，
∵在Rt△ABE中，∠B=45°，AB=4

2

，
∴sin45°=

AE

AB

=

2

2

，
∴AE=4=BE，
∴DF=AE=4，
在Rt△DFC中，DC=5，DF=4，根據勾股定理得：CF=3，
∴BC=BE+EF+CF=4+4+3=11；

（3）∵AD∥BC，M在BC上，
∴只有N在AD上時才能得出四邊形ABMN為平行四邊形，如圖

∴BM=AN，
即t=9-2t，
t=3，
即t為3秒時，四邊形ABMN為平行四邊形；

（4）如圖，∵只有當N在AD上，四邊形CDNM才能是等腰梯形，

過N作NQ⊥BC于Q，
∴NQ∥DF，
∵AD∥BC，∠DFB=90°，
∴四邊形DNQF是矩形，
∴NQ=DF=4，DN=QF=2t-5，
∵四邊形DNMC是等腰梯形，
∴MN=CD=5，
由勾股定理得：MQ=CF=3，
∵BC=BM+MQ+QF+CF，
∴11=t+3+2t-5+3，
t=

10

3

，
即t為

10

3

秒時，四邊形CDNM為等腰梯形．

點評：本題考查了矩形的性質和判定，等腰梯形性質，平行四邊形的性質，勾股定理等知識點的綜合運用，本題具有一定的代表性，是一道比較好的題目，用了運動觀點．