Question

如圖1，Rt△ABC和Rt△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，邊AB和DE在同一直線上，且BC=BD．
（1）找出圖中相似的三角形，并證明你的結論；
（2）若AC=12，BC=5，求tanE的值；
（3）點P為BC上一動點（不與B、C重合如圖2），分別過P作PM⊥DE于M，PN⊥BC，PN交CE于N．在（2）的條件下，設PC=x，則是否存在這樣的x值，使得△PMN是等腰三角形？若存在，直接寫出x的值，并指出相等的邊；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）欲證△ADC∽△ACE，可由有兩組角對應相等的兩個三角形相似得出；
（2）求tan∠E的值，即求CD：CE，可以通過證明△ADC∽△ACE得出；
（3）假設存在這樣的x值，使得△PMN是等腰三角形．由于∠MPN＞90°，那么只能MN是底邊，即只可能PM=PN．由△PMB∽△ACB，得出PM：AC=PB：AB，則PM=

12(5-x)

13

；由△PNC∽△CDE，得出PN：CD=PC：CE，則PN=

2

3

x，解方程

12(5-x)

13

=

2

3

x，得x=

90

31

，因為

90

31

＜5=BC，所以存在這樣的x值．

解答：解：（1）△ADC∽△ACE，證明如下：
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°，∠CDB+∠E=90°．
∵BC=BD，
∴∠DCB=∠CDB．
∴∠ACD=∠E．
∵∠A=∠A，
∴△ADC∽△ACE．

（2）∵∠DCE=90°，
∴∠CDB+∠E=90°，∠BCE+∠DCB=90°．
∵∠DCB=∠CDB，
∴∠BCE=∠E．
∴BC=BE=5．
在Rt△ABC中，AB=

AC2+BC2

=

122+52

=13，
∴AE=AB+BE=13+5=18
∵△ADC∽△ACE，
∴

CD

EC

=

AC

AE

=

12

18

=

2

3

．
∴在Rt△CDE中，tan∠E=

CD

EC

=

2

3

．

（3）當x=

90

31

時，PM=PN．

點評：本題難度中等，考查相似三角形的判定和性質．