Question

10．如圖，拋物線y=x²-x-6交x軸于A、C兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)B；將拋物線y=x²-x-6向上平移$\frac{23}{4}$個(gè)單位長度、再向左平移m（m＞0）個(gè)單位長度，得到新拋物線；若新拋物線的頂點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，則m的取值范圍是0＜m$＜\frac{7}{3}$．

Answer 1

分析 首先根據(jù)平移條件表示出移動(dòng)后的函數(shù)解析式，進(jìn)而用m表示出該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入直線AB、BC的解析式中，即可確定P在△ABC內(nèi)時(shí)m的取值范圍．

解答 解：∵y=x²-x-6=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{25}{4}$，
∴由題意知新拋物線的解析式可表示為：y=（x-$\frac{1}{2}$+m）²-$\frac{25}{4}$+$\frac{23}{4}$=（x-$\frac{1}{2}$+m）²-$\frac{1}{2}$，
它的頂點(diǎn)坐標(biāo)P：（$\frac{1}{2}$-m，-$\frac{1}{2}$）；
由y=x²-x-6可得：A（-2，0），C（3，0），B（0，-6）．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx-6（k≠0），把x=-2，y=0代入，得
-2k-6=0，k=-3，
∴y=-3x-6．
同理直線BC：y=2x-6；
當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上時(shí)，-3（$\frac{1}{2}$-m）-6=-$\frac{1}{2}$，解得：m=$\frac{7}{3}$；
當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上時(shí)，2（$\frac{1}{2}$-m）-6=-$\frac{1}{2}$，解得：m=-$\frac{9}{4}$；
∴當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)時(shí)，-$\frac{9}{4}$＜m＜$\frac{7}{3}$；
又∵m＞0，
∴符合條件的m的取值范圍：0＜m＜$\frac{7}{3}$．
故答案是：0＜m＜$\frac{7}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與幾何變換．由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．