Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．D是AC上一點，且AD=2CD，CE⊥BD于H交AB于E．F是AB的中點，BD、CF交于點G，連接EG．下列結論：①BG=CE；②四邊形AEGC為等腰梯形；③HG=2HD；④BE=3AE．其中正確的結論有

1. A.
   4個
2. B.
   3個
3. C.
   2個
4. D.
   1個

Answer 1

B
分析：由點F是AB中點，AC=BC，∠ACB=90°，CF⊥AB，∠FCB=∠BAC=45°，在△ACE中∥∥，∠CEA=90°+∠ECF，在△BGC中∠CGB=90°+∠ECF，∠CEA=∠CGB，又AC=BC，所以△AEC≌△BCG即得證①；由AE=CG，作FM∥AC，則AD=2CD，所以FG=GC，得AE=CG，AE=EF，又得EG∥AC，所以四邊形AEGC為等腰梯形（②得證）所以即，得=③是錯誤的；由=（④得證）．
解答：解：∵點F是AB中點，AC=BC，∠ACB=90°
∴CF⊥AB，∠FCB=∠BAC=45°
在△ACE中，∠CEA=90°+∠ECF，在△BGC中∠CGB=90°+∠ECF
∴∠CEA=∠CGB
又∵AC=BC
∴△AEC≌△BCG
∴AE=CG，BG=CE（①得證）
由AE=CG，
作FM∥AC
∵AD=2CD，
∴FG=GC，
∴AE=CG，AE=EF，
∴EG∥AC
∴四邊形AEGC為等腰梯形（②得證）
∴即
∴=
∴③是錯誤的．
由=（④得證）
故選B．
點評：本題考查了等腰直角三角形，綜合考查了平行線的與線段的巧妙結合，本題思路性很強．