Question

【題目】已知四邊形ABCD是正方形，F是邊AB，BC上一動點，DE⊥DF，且DE＝DF，M為EF的中點．

(1)當點F在邊AB上時(如圖①)．

①求證：點E在直線BC上；

②若BF＝2，則MC的長為多少．

(2)當點F在BC上時(如圖②)，求的值．

Answer 1

【答案】(1)①證明見解析；②；(2) .

【解析】

（1）①連接CE，證明△ADF≌△CDE，得到∠DCE=∠DAF=90°即可；

②作FK∥MC，證明CM=FK，求出FK=BF即可；

（2）過點E作CD的平行線分別交AD、BC的延長線于K、Q，EN∥MC，根據平行線等分線段定理即可解答．

(1)①證明：如圖①，連接CE.

∵DE⊥DF，∴∠FDE＝90°.

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADC＝∠DAF＝∠DCB＝90°，

DA＝DC.

∴∠ADC－∠FDC＝∠FDE－∠FDC，

即∠ADF＝∠CDE.

又∵DF＝DE，

∴△DAF≌△DCE(SAS)．

∴∠DAF＝∠DCE＝90°，

∴∠DCE＋∠DCB＝180°.

∴點E在直線BC上．

②如圖①，作FK∥MC，∵M為EF的中點，

∴CM=FK，

∵∠DMB=∠DCB=90°，

∴D、M、C、B四點共圓，

∴∠MCD=∠MBD=45°，

∴∠BKF=45°，

∵BF=2，∴FK=2，

∴CM=FK=；

(2) 過點E作CD的平行線分別交AD、BC的延長線于K、G，EN∥MC，

∵M為EF的中點，

∴CM=NE，FC=CN，

∴NG=EG=BF，

．