Question

【題目】（操作）BD是矩形ABCD的對角線，AB=4，BC=3．將△BAD繞著點B順時針旋轉α度（0°＜α＜360°）得到△BEF，點A、D的對應點分別為E、F．若點E落在BD上，如圖①，則DE=______．

（探究）當點E落在線段DF上時，CD與BE交于點G．其它條件不變，如圖②．

（1）求證：△ADB≌△EDB；

（2）CG的長為______．

（拓展）連結CF，在△BAD的旋轉過程中，設△CEF的面積為S，直接寫出S的取值范圍．

Answer 1

【答案】[操作]1；[探究]（1）見解析；（2）；[拓展] S的取值范圍為．

【解析】

[操作】由勾股定理得出BD＝＝5，由旋轉的性質得出BE＝BA＝4，即可得出答案；

[探究]（1）由HL證明Rt△ADB≌Rt△EDB即可；

（2）由矩形的性質和折疊的性質得出∠CDB＝∠EBD，證出DG＝BG，設CG＝x，則DG＝BG＝4﹣x，在Rt△BCG中，由勾股定理得出方程，解方程即可；

[拓展]由題意得出點C到EF的距離最小時，△CEF的面積最小；點C到EF的距離最大時，△CEF的面積最大；當點E在BC的延長線上時，點C到EF的距離最小，此時CE⊥EF，CE＝BE﹣BC＝1，由三角形面積公式得出△CEF的面積S最小＝EF×CE＝；當點E在CB的延長線上時，點C到EF的距離最大，此時CE⊥EF，CE＝BE+BC＝7，由三角形面積公式得出△CEF的面積S最大＝EF×CE＝；即可得出答案．

[操作]

解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=90°，AD=BC=3，

∴，

由旋轉的性質得：BE=BA=4，

∴DE=BD-BE=5-4=1；

故答案為：1；

[探究]（1）證明：由旋轉的性質得：△BEF≌△BAD，

∴∠BEF=∠A=90°，BE=BA，

∴∠BED=180°-∠BEF=90°=∠A，

在Rt△ADB和Rt△EDB中，，

∴Rt△ADB≌Rt△EDB（HL）；

（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，CD=AB=4，∠BCD=90°，

∴∠ABD=∠CDB，

由折疊的性質得：∠ABD=∠EBD，

∴∠CDB=∠EBD，

∴DG=BG，

設CG=x，則DG=BG=4-x，

在Rt△BCG中，由勾股定理得：x2+32=（4-x）2，

解得：，即；

故答案為：；

[拓展] 解：∵△CEF的邊長EF=AD=3，

∴點C到EF的距離最小時，△CEF的面積最小；點C到EF的距離最大時，△CEF的面積最大；

當點E在BC的延長線上時，點C到EF的距離最小，如圖③所示：

此時CE⊥EF，CE=BE-BC=4-3=1，

△CEF的面積；

當點E在CB的延長線上時，點C到EF的距離最大，如圖④所示：

此時CE⊥EF，CE=BE+BC=4+3=7，

△CEF的面積；

∴S的取值范圍為．