Question

如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=2，BC=3，點Q是BC邊的中點，點P是AD邊上的一個動點，PE∥DQ交AQ于點E，PF∥AQ交DQ于點F．
（1）四邊形PEQF的形狀是______．
（2）當P運動到什么位置時，四邊形PEQF是菱形？并說明理由．
（3）四邊形PEQF______為正方形（填“可能”或“不可能”）．

Answer 1

解：（1）四邊形PEQF的形狀是平行四邊形，
理由是：∵PE∥DQ，PF∥AQ，
∴四邊形PEQF是平行四邊形，


（2）當P運動到AD的中點時，四邊形PEQF是菱形，
理由是：∵P為AD中點，
∴AP=PD，
∵PE∥DQ，PF∥AQ，
∴∠APE=∠PDF，∠PAE=∠DPF，
在△APE和△PDF中

∴△APE≌△PDF（ASA），
∴PE=PF，
∴平行四邊形PEQF是菱形；


（3）不可能，
∵假如四邊形是正方形，
則∠AQD=90°，
根據SAS推出△ABQ≌△DCQ，
則∠AQB=∠DQC=45°，
∴AB=BQ，CQ=CD，
而已知AB=CD=2，BC=AD=3，
∴AB≠BQ，DC≠CQ，
即不可能是正方形，
故答案為：平行四邊形；不可能．
分析：（1）根據PE∥DQ，PF∥AQ推出四邊形PEQF是平行四邊形即可；
（2）當P運動到AD的中點時，四邊形PEQF是菱形，求出AP=PD，根據平行線性質得出∠APE=∠PDF，∠PAE=∠DPF，證△APE≌△PDF，推出PE=PF，根據菱形的判定推出即可；
（3）不可能，假如四邊形是正方形，根據正方形的性質得出∠AQD=90°，推出AB=BQ，CQ=CD，與已知相矛盾．
點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，正方形的性質，菱形、平行四邊形的判定的應用，主要考查學生的推理能力．