Question

【題目】如圖，已知直線l//AB，l與AB之間的距離為2．C、D是直線l上兩個動點（點C在D點的左側），且AB=CD=5．連接AC、BC、BD，將△ABC沿BC折疊得到△A′BC．下列說法：①四邊形ABDC的面積始終為10；②當A′與D重合時，四邊形ABDC是菱形；③當A′與D不重合時，連接A′、D，則∠CA′D+∠BC A′=180°；④若以A′、C、B、D為頂點的四邊形為矩形，則此矩形相鄰兩邊之和為3或7．其中正確的是( )

A. ①②③④B. ①③④C. ①②④D. ①②③

Answer 1

【答案】A

【解析】

①根據平行四邊形的判定方法可得到四邊形ABCD為平行四邊形，然后根據平行四邊形的面積公式計算；

②根據折疊的性質得到AC=CD，然后根據菱形的判定方法可判斷四邊形ABDC是菱形；

③連結A′D，根據折疊性質和平行四邊形的性質得到CA′=CA=BD，AB=CD=A′B，∠1=∠CBA=∠2，可證明△A′CD≌△A′BD，則∠3=∠4，然后利用三角形內角和定理得到得到∠1=∠4，則根據平行線的判定得到A′D∥BC；

④討論：當∠CBD=90°，則∠BCA=90°，由于S△A1CB=S△ABC=5，則S矩形A′CBD=10，根據勾股定理和完全平方公式進行計算；當∠BCD=90°，則∠CBA=90°，易得BC=2，而CD=5，于是得到結論．

①∵AB=CD=5，AB∥CD，

∴四邊形ABCD為平行四邊形，

∴四邊形ABDC的面積=2×5=10；故①正確；

②∵四邊形ABDC是平行四邊形，

∵A′與D重合時，

∴AC=CD，

∵四邊形ABDC是平行四邊形，

∴四邊形ABDC是菱形；故②正確；

③連結A′D，如圖，

∵△ABC沿BC折疊得到△A′BC，

∴CA′=CA=BD，AB=CD=A′B，

在△A′CD和△A′BD中

，

∴△A′CD≌△A′BD（SSS），

∴∠3=∠4，

又∵∠1=∠CBA=∠2，

∴∠1+∠2=∠3+∠4，

∴∠1=∠4，

∴A′D∥BC，

∴∠CA′D+∠BCA′=180°；故③正確；

④設矩形的邊長分別為a，b，

當∠CBD=90°，

∵四邊形ABDC是平行四邊形，

∴∠BCA=90°，

∴S△A′CB=S△ABC=×2×5=5，

∴S矩形A′CBD=10，即ab=10，

而BA′=BA=5，

∴a2+b2=25，

∴（a+b）2=a2+b2+2ab=45，

∴a+b=3，

當∠BCD=90°時，

∵四邊形ABDC是平行四邊形，

∴∠CBA=90°，

∴BC=3，

而CD=5，

∴（a+b）2=（2+5）2=49，

∴a+b=7，

∴此矩形相鄰兩邊之和為或7．故④正確．

故選A．