Question

已知兩個二次函數y_A=x²+3mx-2和y_B=2x²+6mx-2．其中m＞0．構造函數y：
當y_A＞y_B時．設y=y_A；
當y_A≤y_B時，設y=y_B．
若自變量x在-2≤x≤1的范圍內變化，求函數y的最大值與最小值．

Answer 1

分析：本題需先根據二次函數的已知條件，得出二次函數的圖象皆開口向上，再根據變量x在-2≤x≤1的范圍內變化，再分別進行討論，即可得出函數y的最大值與最小值．

解答：解：依題意得y=x²+3mx-2．
當y_A＞y_B時；y=2x²+6mx-2，
當yA≤yB時．易看出已知的兩個二次函數的圖象皆開口向上．
有共同的對稱軸x=3m/2＜0，在直線y=-2上有兩個交點．
其中一點為（0，-2）．描繪函數yA=x²+3mx-2與yB=2x²+6mx-2的圖象．
則兩曲線中函數值相對較大部分組成的曲線（即兩交點左右兩虛線及中間實線）
就是所求函數的圖象．討論函數y在-2≤x≤l時的最值：
（1）m≥4/3時ymin=2-6mymax=6m
（2）當1/3＜m＜4/3時．Ymin=-9m²/4-2ymanx=6m；
（3）0＜m＜1/3時．ymin=-9m²/4-2．ymax=6-12m．

點評：本題主要考查了二次函數的綜合問題，在解題時要注意它們的取值范圍是解題的關鍵．