Question

已知拋物線y=

1

2

x2經過坐標原點，與直線y=

1

2

x+1相交于A、B兩點，y=

1

2

x+1與x軸、y軸分別相交于點C和D．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）若把拋物線向下平移，使得拋物線經過點C，此時拋物線與直線y=

1

2

x+1相交于另一點E，與x軸相交于點F，求△CEF的面積；
（3）把拋物線y=

1

2

x2上下平移，與直線相交于點G、K，能否使得CG：DK=1：2，若能成立，請求出向上或向下平移幾個單位，若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）讓二次函數和直線解析式聯立即可求得交點坐標．
（2）向下平移，頂點的縱坐標改變．設出相應的函數解析式，把C坐標代入求得函數解析式，與一次函數聯立求得點E坐標，利用二次函數的對稱性可求得點F的坐標．
（3）設G，K的橫坐標分別為m，n，得到平移后的縱坐標．從G，K向x軸引垂線，得到一定的相似三角形．利用相似三角形的對應邊的比為1：2進行求解．

解答：解：（1）由題意得：

1

2

x2=

1

2

x+1，
∴x²-x-2=0，
∴x₁=2，x₂=-1，
∴A（-1，

1

2

），B（2，2）．

（2）把y=

1

2

x2向下平移a個單位經過點C，則拋物線變為：y=

1

2

x2-a，
又y=

1

2

x+1，
得C（-2，0），D（0，1），
∴0=

1

2

（-2）²-a，a=2，
∴y=

1

2

x2-2，
∴

1

2

x2-2=

1

2

x+1，x²-x-6=0x₁=3，x₂=-2，
∴E（3，

5

2

）
又C，F關于y軸對稱
∴F（2，0）
∴CF=2-（-2）=4
∴S_△CEF=

1

2

×CF×E點縱坐標的絕對值=

1

2

×4×

5

2

=5（2分）

（3）設拋物線上下平移k個單位，G點坐標為（m，

1

2

m2+k），K點坐標為（n，

1

2

n2+k)，
①G在C上方時

m-(-2) n = 1 2 ( 1 2 n2+K)-( 1 2 m2+k) n-m = 1 2

，
∴

m=-1 n=2

，
解得k=0，沒有移動，舍去；
②G在C下方時

(-2)-m n = 1 2 ( 1 2 n2+K)-( 1 2 m2+k) n-m = 1 2

，
∴

m=-5 n=6

．
解得k=-14，即向下平移14個單位，
所以，當拋物線向下平移14個單位時，滿足要求．

點評：兩個函數的交點坐標應是這兩個函數的解析式組成方程組的公共解；三角形一邊在坐標軸上，這邊應是求三角形面積的一底邊；
相似三角形的對應邊的邊應是相等的．