Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于D，DE切⊙O于D，交AC于E．
（1）設∠ABC=α，已知關于x的方程2x²-10xcosα+25cosα-12=0有兩個相等的實數根，BC=8，求AB的長．
（2）若點C是以A為圓心，以AB為半徑的半圓BCF（點B、F除外）上的一個動點，設BC=t，CE=y，利用（1）所求得的AB的長，求y與t之間的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍．
（3）在（2）的基礎上，當t為何值時，S_△ABC=

25

4

3

．

Answer 1

分析：（1）連接AD，根據等腰三角形三線合一的性質AD垂直平分BC，所以BD=DC=4，再根據方程有兩個相等實數根，判別式△=0求出cosα=

4

5

，結合∠α的三角函數即可求出AB的長；
（2）再連接OD，根據三角形的中位線定理和切線的性質可以得到∠DEC=90°，在Rt△CDE中，利用∠ACB=∠ABC=α的余弦列出算式并整理即可得到y與t之間的函數關系式；
（3）根據等腰三角形的性質和勾股定理求出底邊BC上的高AD，代入面積公式即可得到一關于t的方程，解方程即可．

解答：解：（1）連接AD，
∵關于x的方程2x²-10xcosα+25cosα-12=0有兩個相等的實數根，
∴△=0，即（-10cosα）²-8（25cosα-12）=0，
整理，得100cos2α-200cosα+96=0，
解這個關于cosα的方程，得
cosα=

4

5

或cosα=

6

5

（舍）
∴cosα=

4

5

（2分）
∵AB為⊙O的直徑
∴∠ADB=90°，
又AB=AC，BC=8
∴BD=DC=4
在Rt△ABD中，cosα=

BD

AB

∴AB=

BD

cosα

=

4

4 5

=5；（3分）

（2）連接0D，∵DE切⊙O于D，
∴∠ODE=90°，
又OA=OB，DB=DC，
∴OD∥AC，∴∠DEC=90°，（4分）
又∠DEC=∠ADC，∠C=∠C，
∴△DEC∽△ADC，
∴

CD

CA

=

CE

CD

，（5分）
又BC=t，DB=DC，
∴CD=

1

2

t，
又CE=y，CA=AB=5，
∴

CE

CD

=

CD

AC

，即

y

1 2 t

=

1 2 t

5

，
整理得y=

1

20

t²變量t的取值范圍是0＜t＜10．（7分）

（3）∵S_△ABC=

25

4

3

，
∴

1

2

BC•AD=

25

4

3

，
在Rt△ABD中，BD=

1

2

t，AB=5，
由勾股定理得，AD=

AB2-BD2

=

1

2

100-t2

，（8分）
∴

1

2

×t×

1

2

100-t2

=

25

4

3

，
即t•

100-t2

=25

3

，
兩邊平方，并整理，
得t⁴-100t²+1875=0，
設t²=u，則原方程可化為u²-100u+1875=0，
解之，得u₁=25，u₂=75，
即t²=25，或t²=75，
t=±5或t=±5

3

，
經檢驗，t=5或t=5

3

符合題意，
即當t=5或t=5

3

時，S_△ABC=

25

4

3

．（10分）

點評：本題考查：（1）一元二次方程有兩個相等的實數根的條件是判別式△=b²-4ac=0，等腰三角形三線合一的性質和直徑所對的圓周角等于90°；
（2）過切點和半徑垂直于切線、三角形中位線定理和相似三角形的判定和性質；
（3）勾股定理和解一元二次方程，需要注意所求方程的解一定要符合實際意義，因為是三角形的邊，負值一定要舍去．