Question

如圖（1）所示一張平行四邊形紙片ABCD，AB=10，AD=6，BD=8，沿對(duì)角線BD把這紙片剪成△AB₁D₁和△CB₂D₂兩個(gè)三角形如圖（2），將△AB₁D₁沿直線AB₁方向平移在平移過程中，（點(diǎn)B₂始終在AB₁上，AB₁與CD₂始終保持平行）當(dāng)點(diǎn)A與B₂重合時(shí)停止平移在平移過程中，AD₁與B₂D₂交于點(diǎn)E，B₂C與B₁D₁交于點(diǎn)F．

（1）當(dāng)△AB₁D₁平移到圖3時(shí)，試判斷四邊形B₂FD₁E是什么四邊形并說(shuō)明理由；
（2）設(shè)平移距離B₂B₁=x，四邊形B₂FD₁E的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；并求四邊形B₂FD₁E的面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）應(yīng)該是矩形，首先我們知道D₁FB₂E應(yīng)該是平行四邊形，那么根據(jù)AB，AC，BD的長(zhǎng)，我們可判斷出三角形ABD和DBC都是直角三角形且∠ADB=∠CBD=90°，因此AD₁⊥D₁B₁，因此是矩形．
（2）要求解面積就要知道矩形的長(zhǎng)和寬，我們可在直角三角形B₁B₂F中，用B₁B₂和∠B₁的正弦值求出B₂F，同理可用AB₂和∠A的正弦值求出B₂E，那么就能根據(jù)矩形的面積公式求出y，x的函數(shù)關(guān)系式了，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)以及自變量的取值范圍求出矩形的最大的面積．
解答：解：
（1）矩形．
證明：
∵AD₁∥B₂C，D₁B₁∥D₂B₂
∴四邊形ED₁FB₂是平行四邊形
在三角形ABD中AB=10，AD=6，BD=8
∴AB₂=AD₂+BD₂
因此三角形ABD是直角三角形，且∠ADB=90°
∴∠AD₁B₁=90°
∴四邊形ED₁FB₂是矩形．

（2）∵B₂B₁=x
∴AB₂=10-x
直角三角形B₁B₂F中，sin∠B₁==，B₂B₁=x
∴B₂F=B₂B₁•sin∠B₁=x
同理可得B₂E=8-x
∴y=B₂F•B₂E=x•（8-x）
即：y=（x-5）²+12（0＜x＜10）
因此當(dāng)x=5時(shí)，y_max=12
即矩形的最大的面積是12．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)以及平移的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)原平行四邊形對(duì)角線和兩邊長(zhǎng)，得出平行四邊形的對(duì)角線平分的兩個(gè)三角形是直角三角形是解題的關(guān)鍵．