Question

如圖是反比例函數y=

k

x

的圖象，當-4≤x≤-1時，-4≤y≤-1．
（1）求該反比例函數的解析式；
（2）若M、N分別在反比例函數圖象的兩支上，請指出什么情況下線段MN最短（不需證明），并求出線段MN長度的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）中用待定系數法求反比例函數的解析式；
（2）經觀察后可發現當MN為直線y=x與雙曲線的兩個交點時，線段MN最短．聯立兩方程可求得兩交點的坐標M（2，2），（-2，-2）．然后根據兩點之間的距離公式求得線段MN的最小值．

解答：解：（1）∵在反比例函數的圖象中，當-4≤x≤-1時，-4≤y≤-1，
∴反比例函數經過坐標（-4，-1），
將坐標代入反比例函數y=

k

x

中，
得反比例函數的解析式為y=

4

x

（2分）；

（2）當M，N為一，三象限角平分線與反比例函數圖象的交點時，線段MN最短．
將y=x代入y=

4

x

，
解得

x=2 y=2

x=-2 y=-2

，
即M（2，2），N（-2，-2）．
∴OM=2

2

．
則MN=4

2

．
又∵M，N為反比例函數圖象上的任意兩點，
由圖象特點知，線段MN無最大值，即MN≥4

2

．

點評：本題考查用待定系數法求函數解析式，在第（2）問中關鍵是要正確判斷MN何時出現最小值．