Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=BC，D是AC中點，BE平分∠ABD交AC于點E，點O是AB上一點，⊙O過B、E兩點，交BD于點G，交AB于點F．
（1）求證：AC與⊙O相切；
（2）當BD=2，sinC=

1

2

時，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：連接OE，通過證明OE∥BD證明OE⊥AC，得出AC與⊙O相切；通過證明∠C=∠A，解直角三角形AOE求OE的長，即半徑的長度．

解答：（1）證明：如圖，連接OE．
∵AB=BC且D是BC中點
∴BD⊥AC
∵BE平分∠ABD
∴∠ABE=∠DBE
∵OB=OE
∴∠OBE=∠OEB
∴∠OEB=∠DBE
∴OE∥BD
∴OE⊥AC
∴AC與⊙O相切．

（2）解：∵BD=2，sinC=

1

2

，BD⊥AC
∴BC=4
∴AB=4
設⊙O 的半徑為r，則AO=4-r
∵AB=BC
∴∠C=∠A
∴sinA=sinC=

1

2

．
∵AC與⊙O相切于點E，
∴OE⊥AC
∴sinA=

r

4-r

=

1

2

∴r=

4

3

．

點評：考查了切線的判定、圓的性質以及解直角三角形的簡單應用．