Question

【題目】如圖，在ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，G，H分別是AF，CE的中點，連結EG，F(xiàn)H．
（1）四邊形EHFG是不是平行四邊形？如果是，請給出證明；如果不是，請說明理由；
（2）求四邊形EHFG的面積與平行四邊形ABCD的面積之比．

Answer 1

【答案】
（1）解：四邊形EHFG為平行四邊形，理由為：

∵ABCD為平行四邊形，

∴DC∥AB，DC=AB，

∵E、F分別為AB、CD的中點，

∴DF=CF= DC，AE=BE= AB，

∴FC=AE，

∵FC∥AE，

∴四邊形AECF為平行四邊形，

∴AF∥EC，且AF=EC，

∵G、H分別為AF、CE的中點，

∴GF=EH，

則四邊形EHFG為平行四邊形

（2）解：∵E、F為AB、CD的中點，

∴S四邊形AECF=S△ADF+S△EBC（底乘高可算得），即S平行四邊形AECF：S平行四邊形ABCD=1：2，

過F做FJ⊥CE于J點，F(xiàn)J為四邊形EHFG及四邊形AECF的高，

又∵G、H為中點，

∴S四邊形EHFG：S四邊形AECF=1：2（FJEC=FJ2EH），則S四邊形EHFG：S四邊形ABCD=1：4．

【解析】（1）四邊形EHFG為平行四邊形，理由為：由四邊形ABCD為平行四邊形得到DC與AB平行且相等，而E、F分別為AB、CD的中點，得到FC與AE平行且相等，即四邊形AECF為平行四邊形，可得出GF與HE平行，再由G、H分別為AF與CE中點，得到GF=HE，即可得到四邊形GEHF為平行四邊形；（2）由E、F分別為AB、CD的中點，得到四邊形AECF的面積=三角形ADF面積+三角形EBC面積= 平行四邊形ABCD面積，作FJ垂直與CE，F(xiàn)J為四邊形EHFG及四邊形AECF的高，求出四邊形EHFG面積與四邊形AECF面積之比，即可確定出四邊形EHFG的面積與平行四邊形ABCD的面積之比．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平行四邊形的判定與性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積．